《2025年人教金学典同步解析与测评九年级数学上册人教版重庆专版》

一、正多边形的有关证明
【例 1】如图 24.3 - 1,五边形 $ ABCDE $ 内接于 $ \odot O $,$ \angle A = \angle B = \angle C = \angle D = \angle E $。求证：五边形 $ ABCDE $ 是正五边形。

证明：

答案：
∵五边形$ABCDE$内接于$\odot O$，设弧$AB=\alpha$，弧$BC=\beta$，弧$CD=\gamma$，弧$DE=\delta$，弧$EA=\varepsilon$，则$\alpha+\beta+\gamma+\delta+\varepsilon=360°$。
$\angle A$是圆周角，所对优弧为弧$BCD$，其度数为$360°-(\varepsilon+\alpha)$，故$\angle A=\frac{1}{2}(360°-(\varepsilon+\alpha))$。
同理，$\angle B=\frac{1}{2}(360°-(\alpha+\beta))$，$\angle C=\frac{1}{2}(360°-(\beta+\gamma))$，$\angle D=\frac{1}{2}(360°-(\gamma+\delta))$，$\angle E=\frac{1}{2}(360°-(\delta+\varepsilon))$。
$\because\angle A=\angle B=\angle C=\angle D=\angle E$，
$\therefore\frac{1}{2}(360°-(\varepsilon+\alpha))=\frac{1}{2}(360°-(\alpha+\beta))\Rightarrow\varepsilon=\beta$；
同理可得$\alpha=\gamma$，$\beta=\delta$，$\gamma=\varepsilon$，
$\therefore\alpha=\beta=\gamma=\delta=\varepsilon$，即各弧相等。
$\because$同圆中相等弧所对弦相等，$\therefore AB=BC=CD=DE=EA$。
又$\angle A=\angle B=\angle C=\angle D=\angle E$，
$\therefore$五边形$ABCDE$是正五边形。

【针对训练】
1. 如图 24.3 - 2,$ \triangle ABC $ 是 $ \odot O $ 的内接等腰三角形,$ \angle BAC = 36^{\circ} $,弦 $ BD $,$ CE $ 分别平分 $ \angle ABC $,$ \angle ACB $。
求证：五边形 $ AEBCD $ 是正五边形。

答案： 证明：
∵△ABC是等腰三角形，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=(180°-36°)/2=72°。
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC/2=36°，∠ACE=∠ECB=∠ACB/2=36°。
∵∠BAC=36°（圆周角），所对弧BC，
∴弧BC=2∠BAC=72°（圆周角定理）。
∵∠DBC=36°（圆周角），所对弧CD，
∴弧CD=2∠DBC=72°。
∵∠ECB=36°（圆周角），所对弧EB，
∴弧EB=2∠ECB=72°。
∵∠ACE=36°（圆周角），所对弧AE，
∴弧AE=2∠ACE=72°。
∵圆的周角为360°，
∴弧DA=360°-弧AE-弧EB-弧BC-弧CD=360°-72°×4=72°。
∴弧AE=弧EB=弧BC=弧CD=弧DA=72°。
∴AE=EB=BC=CD=DA（同圆中，等弧对等弦）。
∵五边形AEBCD内接于⊙O，且各边所对弧相等，
∴各内角所对优弧度数=360°-2×72°=216°，
∴各内角=1/2×216°=108°（圆周角定理）。
∴五边形AEBCD各边相等，各角相等，
即五边形AEBCD是正五边形。

二、正多边形的有关计算
【例 2】如图 24.3 - 3,$ \odot O $ 是正六边形 $ ABCDEF $ 的外接圆,$ \odot O $ 的半径是 2,求正六边形 $ ABCDEF $ 的面积。

解：

答案： 连接 $OA$，$OB$，并作 $OM\perp AB$ 于点 $M$。
$\because \odot O$的半径是$2$，
$\therefore OA = OB = 2$。
$\because$多边形$ABCDEF$为正六边形，
$\therefore \angle AOB = 60^{\circ}$，
$\therefore \triangle AOB$是等边三角形，
$\therefore AB = OA = 2$。
$\because OM\perp AB$，$OA = 2$，
$\therefore OM = \sqrt{OA^{2} - (\frac{AB}{2})^{2}} = \sqrt{3}$，
$\therefore S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} × AB × OM = \sqrt{3}$。
$\because$正六边形 $ABCDEF$ 的面积等于 $6S_{\triangle AOB}$，
$\therefore$正六边形 $ABCDEF$ 的面积为 $6\sqrt{3}$。

【针对训练】
2. 如图 24.3 - 4,等边三角形 $ ABC $ 的外接圆 $ \odot O $ 的半径为 $ R $,求等边三角形 $ ABC $ 的边长、边心距、周长和面积。

答案： 边长√3 R，边心距R/2，周长3√3 R，面积3√3 R²/4。