《2025年人教金学典同步解析与测评九年级数学上册人教版重庆专版》

1. 一个边长为 2 的正多边形的内角和是其外角和的 2 倍,则这个正多边形的半径是(A)
A.2
B.$ \sqrt{3} $
C.1
D.$ \frac{1}{2} $

答案： A

2. 如图 24.3 - 5,正六边形 $ ABCDEF $ 与等边三角形 $ FCG $ 的面积比为(D)

A.$ 2:1 $
B.$ 4:3 $
C.$ 3:1 $
D.$ 3:2 $

答案： D

3. 正六边形的边心距与边长之比为(B)
A.$ \sqrt{3}:3 $
B.$ \sqrt{3}:2 $
C.$ 1:2 $
D.$ \sqrt{2}:2 $

答案： B

4. 如图 24.3 - 6,正六边形 $ ABCDEF $ 的边长为 1,连接 $ AC $,$ BE $,$ DF $,$ AC $,$ DF $ 分别交 $ BE $ 于点 $ G $,$ H $,则图中阴影四边形的周长为(D)

A.3
B.4
C.$ 2 + \sqrt{2} $

 

D.$ 2 + \sqrt{3} $

答案： D

5. 如图 24.3 - 7,在正六边形中,$ \angle \alpha = $30°。

答案： 30°

6. 若一个正多边形的每个外角为 $ 72^{\circ} $,则这个正多边形的中心角是$72^{\circ}$。

答案： $72^{\circ}$（题目是填空题，按照要求这里应填数值，由于没有选项，按规则填题目答案数值相关（这里按题目要求格式应填数值本身））。

7. 如图 24.3 - 8,已知正方形 $ ABCD $ 的边心距 $ OE = \sqrt{2} cm $,求这个正方形外接圆 $ \odot O $ 的面积。

答案： 因为四边形$ABCD$为正方形，$OE$为正方形$ABCD$的边心距，$OE =\sqrt{2}cm$，且$OE\perp BC$，
所以$OB$为$\odot O$的半径$R$，$\angle OBE = 45^{\circ}$，
在$Rt \triangle OBE$中，
$\sin\angle OBE=\frac{OE}{OB}$，
即$OB = \frac{OE}{\sin45^{\circ}}=\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2(cm)$，
所以$\odot O$的面积$S = \pi R^{2}=4\pi(cm^{2})$。
答案为这个正方形外接圆$\odot O$的面积为$4\pi cm^{2}$。

8. 如图 24.3 - 9,已知正 $ n $ 边形的边长为 $ a $,边心距为 $ r $,求正 $ n $ 边形的半径 $ R $、周长 $ C $ 和面积 $ S $。

答案： 半径$R$：连接正$n$边形中心与一边中点及该边顶点，构成直角三角形，由勾股定理得$R^{2}=r^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}$，则$R=\sqrt{r^{2}+\frac{a^{2}}{4}}=\frac{\sqrt{4r^{2}+a^{2}}}{2}$。
周长$C$：$C=na$。
面积$S$：将正$n$边形分割为$n$个全等三角形，每个三角形面积为$\frac{1}{2}ar$，故$S=n\cdot\frac{1}{2}ar=\frac{1}{2}nar$。

9. 如图 24.3 - 10 所示,已知边长为 $ 2 cm $ 的正六边形 $ ABCDEF $,点 $ A_1 $,$ B_1 $,$ C_1 $,$ D_1 $,$ E_1 $,$ F_1 $ 分别为所在各边的中点,求图中阴影部分的总面积 $ S $。

答案： $ \boxed{\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,cm^2} $