《2025年人教金学典同步解析与测评九年级数学上册人教版重庆专版》

6.如图24.1.4-10,⊙O的直径AB与弦CD垂直,且∠BAC= 40°,则∠BOD= 80°.

答案： 80°

7.如图24.1.4-11,已知Rt△ABC的两条直角边AC,BC的长分别为3 cm,4 cm,以AC为直径作圆与斜边AB交于点D,求AD的长.

答案： 连接$CD$，
$\because AC$是直径，
$\therefore\angle ADC=90^{\circ}$，
$\because AC=3cm$，$BC=4cm$，$\angle ACB=90^{\circ}$，
$\therefore AB=\sqrt{3^2+4^2}=5cm$，
$\because\angle ADC=\angle ACB=90^{\circ}$，$\angle A=\angle A$，
$\therefore \triangle ADC\sim\triangle ACB$，
$\therefore\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，
$\therefore\frac{AD}{3}=\frac{3}{5}$，
$\therefore AD=\frac{9}{5}cm$。
所以$AD$的长为$\frac{9}{5}cm$。

8.如图24.1.4-12,AB是⊙O的直径,C是$\widehat{AE}$的中点,CD⊥AB于点D,交AE于点F,连接AC.
求证：AF= CF.

答案： 证明：
连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠B+∠CAB=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠ACD+∠CAB=90°，
∴∠B=∠ACD（同角的余角相等），
∵C是$\widehat{AE}$的中点，
∴$\widehat{AC}=\widehat{CE}$，
∴∠B=∠CAE（等弧所对的圆周角相等），
∴∠ACD=∠CAE，
∴AF=CF（等角对等边）。

9.如图24.1.4-13,四边形ABCD内接于⊙O,AD是⊙O的直径,C是$\widehat{BD}$的中点,AB的延长线和DC的延长线交于⊙O外一点E.求证：BC= EC.

答案： 证明：
1.
∵AD是⊙O的直径，C在⊙O上，
∴∠ACD=90°（直径所对的圆周角是直角）。
2.
∵D，C，E共线，
∴∠ACE=180°-∠ACD=90°（平角定义）。
3. 在Rt△ACE中，∠E+∠CAE=90°（直角三角形两锐角互余），故∠E=90°-∠CAE。
4.
∵C是$\widehat{BD}$中点，
∴$\widehat{BC}=\widehat{CD}$（中点定义），
∴∠BAC=∠CAD（等弧所对的圆周角相等）。设∠BAC=∠CAD=α，则∠CAE=∠BAC=α（A，B，E共线）。
5. 在Rt△ADC中，∠ACD=90°，
∴∠ADC+∠CAD=90°（直角三角形两锐角互余），故∠ADC=90°-α。
6.
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠EBC=∠ADC（圆内接四边形外角等于内对角），
∴∠EBC=90°-α。
7. 由3、6得∠E=∠EBC。
8. 在△EBC中，∠E=∠EBC，
∴BC=EC（等角对等边）。