《2025年人教金学典同步解析与测评九年级数学上册人教版重庆专版》

5. 如图24.2.3-9,AB是⊙O的直径,∠A= 30°,延长OB到D,使BD= OB.
(1) △OBC是等边三角形吗？说明理由.
(2) 求证：DC是⊙O的切线.

答案：
(1) △OBC是等边三角形。
理由：
因为$AB$是⊙$O$的直径，所以$OA = OB = OC$（半径相等）。
已知$\angle A = 30^{\circ}$，在$\bigtriangleup AOC$中，$OA = OC$，所以$\angle A = \angle ACO = 30^{\circ}$。
根据三角形外角性质，$\angle BOC=\angle A+\angle ACO = 60^{\circ}$。
又因为$OB = OC$，在$\bigtriangleup OBC$中，有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形，所以$\bigtriangleup OBC$是等边三角形。
(2)
因为$\bigtriangleup OBC$是等边三角形，所以$\angle OBC=\angle BOC = 60^{\circ}$，$BC = OB$。
已知$BD = OB$，所以$BC = BD$，则$\angle D=\angle BCD$。
在$\bigtriangleup BCD$中，$\angle OBC$是外角，根据三角形外角性质$\angle OBC=\angle D+\angle BCD$，又因为$\angle OBC = 60^{\circ}$，所以$\angle D=\angle BCD = 30^{\circ}$。
则$\angle OCD=\angle OCB+\angle BCD=60^{\circ}+30^{\circ}=90^{\circ}$，即$OC\bot DC$。
因为$OC$是⊙$O$的半径，所以$DC$是⊙$O$的切线。

6. 如图24.2.3-10,半圆O与等腰直角三角形两腰CA,CB分别切于D,E两点,直径FG在AB上,若BG= $\sqrt{2}-1$,则△ABC的周长为(A)

A.$4+2\sqrt{2}$
B.6
C.$2+2\sqrt{2}$
D.4

 

答案： A

7. 如图24.2.3-11,以△ABC的边BC上一点O为圆心的圆,经过A,B两点,且与BC边交于点E,D为BE的下半圆弧的中点,连接AD交BC于F,若AC= FC.
(1) 求证：AC是⊙O的切线；
(2) 若BF= 8,DF= $\sqrt{40}$,求⊙O的半径r.

答案：
(1)
证明：
连接$OA$，$OD$。
因为$D$为$\overset{\frown}{BE}$的下半圆弧的中点，
根据垂径定理的推论可知$OD\perp BE$。
所以$\angle DFO + \angle ODF=90^{\circ}$。
因为$OA = OD$，
所以$\angle OAD=\angle ODF$。
因为$AC = FC$，
所以$\angle CAF=\angle CFA$，
又因为$\angle CFA=\angle DFO$，
所以$\angle CAF=\angle DFO$。
所以$\angle CAF+\angle OAD = 90^{\circ}$，即$\angle OAC = 90^{\circ}$。
又因为$OA$是$\odot O$的半径，且$OA\perp AC$，
所以$AC$是$\odot O$的切线。
(2)
连接$OA$，$AB$。
因为$D$为$\overset{\frown}{BE}$的下半圆弧的中点，$OA = OB$，
设$\odot O$的半径为$r$，则$OB = OD=r$。
在$Rt\triangle DFO$中，$DF=\sqrt{40}$，$BF = 8$，
所以$OF=8 - r$。
根据勾股定理$OD^{2}+OF^{2}=DF^{2}$，
即$r^{2}+(8 - r)^{2}=(\sqrt{40})^{2}$。
展开得$r^{2}+64-16r+r^{2}=40$。
整理得$2r^{2}-16r + 24 = 0$。
两边同时除以$2$得$r^{2}-8r + 12 = 0$。
因式分解得$(r - 2)(r - 6)=0$。
解得$r_{1}=2$，$r_{2}=6$。
当$r = 2$时，$OF=8 - 2 = 6$，$OD = 2$，
在$Rt\triangle DFO$中，$OD\lt OF$，不满足直角三角形中斜边大于直角边的条件，舍去。
当$r = 6$时，$OF=8 - 6 = 2$，$OD = 6$，满足条件。
所以$\odot O$的半径$r$为$6$。

一、切线长定理的简单应用
【例 1】如图 24.2.4 - 1,已知 $ PA $,$ PB $,$ DE $ 是 $ \odot O $ 的切线,切点分别为 $ A $,$ B $,$ F $,$ PO = 13 cm $,$ \odot O $ 的半径为 $ 5 cm $,求 $ \triangle PDE $ 的周长。

解：连接$OA$、$OB$、$OF$，
由切线的性质可知$OA\perp PA$，$OB\perp PB$，$OF\perp DE$，$OA = OB = 5cm$，
根据勾股定理可得$PA=PB=\sqrt{PO^{2}-OA^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}} = 12cm$，
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，
因为$PA$，$PB$是$\odot O$的切线，所以$PA = PB = 12cm$；
$DA$，$DF$是$\odot O$的切线，所以$DA=DF$；
$EB$，$EF$是$\odot O$的切线，所以$EB = EF$，
$\triangle PDE$的周长为$PD + DE+PE=PD + DF+FE + PE=PD + DA+EB + PE=PA + PB$，
把$PA = PB = 12cm$代入可得$\triangle PDE$的周长为$24cm$。
答：$\triangle PDE$的周长为$24cm$。

答案： 连接$OA$、$OB$、$OF$，
由切线的性质可知$OA\perp PA$，$OB\perp PB$，$OF\perp DE$，$OA = OB = 5cm$，
根据勾股定理可得$PA=PB=\sqrt{PO^{2}-OA^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}} = 12cm$，
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，
因为$PA$，$PB$是$\odot O$的切线，所以$PA = PB = 12cm$；
$DA$，$DF$是$\odot O$的切线，所以$DA=DF$；
$EB$，$EF$是$\odot O$的切线，所以$EB = EF$，
$\triangle PDE$的周长为$PD + DE+PE=PD + DF+FE + PE=PD + DA+EB + PE=PA + PB$，
把$PA = PB = 12cm$代入可得$\triangle PDE$的周长为$24cm$。
答：$\triangle PDE$的周长为$24cm$。