《2025年人教金学典同步解析与测评九年级数学上册人教版重庆专版》

4.若点$P(m,4)是抛物线y = \frac{1}{2}x^{2}$上的一点,则$m = $$\pm 2\sqrt{2}$.

答案： $\pm 2\sqrt{2}$

5.点$(x_{1},y_{1})$,$(x_{2},y_{2})在二次函数y = - \sqrt{2}x^{2}$的图象上,当$x_{1} ＞ x_{2} ＞ 0$时,$y_{1}与y_{2}$的大小关系是$y_{1} ＜ y_{2}$.

答案： $y_{1} ＜ y_{2}$

6.已知$y = (k + 2)x^{k^{2}+k - 4}$是二次函数,且当$x ＞ 0$时,$y随x$的增大而增大.
(1)求$k$的值；
(2)求该抛物线的顶点坐标和对称轴.

答案：
(1)
因为$y = (k + 2)x^{k^{2}+k - 4}$是二次函数，所以$\begin{cases}k^{2}+k - 4 = 2\\k + 2\gt 0\end{cases}$
由$k^{2}+k - 4 = 2$，即$k^{2}+k - 6 = 0$，因式分解得$(k + 3)(k - 2)=0$，解得$k = - 3$或$k = 2$。
又因为$k + 2\gt 0$，即$k\gt - 2$，所以$k = 2$。
(2)
由
(1)知二次函数为$y = 4x^{2}$。
对于二次函数$y = ax^{2}$（$a\neq0$），其顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为$y$轴（即$x = 0$）。
所以该抛物线的顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为$y$轴（或$x = 0$）。

7.一抛物线形的石拱桥在如图22.1.2-4所示的坐标系中,桥的最大高度为$8m$,跨度为$40m$.

(1)求抛物线的解析式；
(2)求距$y轴5m$处的石拱的高度.

答案：
(1) 设抛物线的解析式为 $y = ax^2 + k$（由于抛物线关于y轴对称，所以b=0），
由题意知，抛物线的顶点坐标为 $(0, 8)$，所以 $k = 8$，
又因为抛物线经过点 $(20, 0)$，代入得：
$0 = a × 20^2 + 8$，
$0 = 400a + 8$，
从上式解得：
$a = -\frac{1}{50}$，
所以抛物线的解析式为：
$y = -\frac{1}{50}x^2 + 8$。
(2) 将 $x = 5$ 代入 $y = -\frac{1}{50}x^2 + 8$ 得：
$y = -\frac{1}{50} × 5^2 + 8 = -\frac{1}{50} × 25 + 8 = 7.5$，
或将 $x = -5$ 代入 $y = -\frac{1}{50}x^2 + 8$ 得：
$y = -\frac{1}{50} × (-5)^2 + 8 = -\frac{1}{50} × 25 + 8 = 7.5$，
所以距 $y$ 轴 $5m$ 处的石拱的高度为 $7.5m$。

【例1】一条抛物线的形状、开口方向、对称轴与 $ y = 2x^2 $ 相同,并且抛物线过点$(1,1)$。
(1)求抛物线对应的函数解析式；
(2)求抛物线的顶点坐标,并说明该抛物线是由抛物线 $ y = 2x^2 $ 经过怎样的平移得到的？
解：

答案：
(1) 因为抛物线的形状、开口方向、对称轴与 $ y = 2x^2 $ 相同，所以设抛物线解析式为 $ y = 2x^2 + k $。
将点 $ (1,1) $ 代入，得 $ 1 = 2×1^2 + k $，解得 $ k = -1 $。
故抛物线解析式为 $ y = 2x^2 - 1 $。
(2) 抛物线 $ y = 2x^2 - 1 $ 的顶点坐标为 $ (0, -1) $。
该抛物线是由抛物线 $ y = 2x^2 $ 向下平移 1 个单位长度得到的。