《2025年人教金学典同步解析与测评九年级数学上册人教版重庆专版》

4. 对于抛物线 $ y = -(x + 1)^2 + 3 $,下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线 $ x = 1 $；③顶点坐标为 $ (-1, 3) $；④ $ x ＞ 1 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小. 其中正确结论的个数为(C)
A.1
B.2
C.3
D.4

答案： C

5. 已知当 $ x = 1 $ 时,函数有最大值5,且图象经过点 $ (0, -3) $,则该二次函数的解析式为$y = -8(x - 1)^2 + 5$.

答案： $y = -8(x - 1)^2 + 5$

6. 已知抛物线 $ y = a(x - 3)^2 + 2 $ 经过点 $ (1, -2) $.
(1)求 $ a $ 的值；
(2)若点 $ A(m, y_1) $,$ B(n, y_2)(m ＜ n ＜ 3) $ 都在该抛物线上,试比较 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小.

答案：
(1) 解：
因为抛物线 $y = a(x - 3)^2 + 2$ 经过点 $(1, -2)$，代入得：
$-2 = a(1 - 3)^2 + 2$，
$-2 = 4a + 2$，
$4a = -4$，
$a = -1$。
(2)解：
由
(1) 得抛物线的解析式为 $y = -(x - 3)^2 + 2$。
因为 $a = -1 ＜ 0$，抛物线开口向下，
在对称轴 $x = 3$ 左侧，$y$ 随 $x$ 的增大而增大，
因为 $m ＜ n ＜ 3$，所以 $y_1 ＜ y_2$。

7. 已知函数 $ y = (x + 1)^2 - 4 $.
(1)若将该抛物线先向右平移2个单位长度,再向上平移4个单位长度,求得到的抛物线对应的函数解析式.
(2)该抛物线经过怎样的平移能经过原点？
(3)当 $ x $ 取何值时,函数值大于0？当 $ x $ 取何值时,函数值小于0？

答案：
(1) 原抛物线顶点为$(-1,-4)$，向右平移2个单位后顶点横坐标为$-1+2=1$，再向上平移4个单位后顶点纵坐标为$-4+4=0$，平移后抛物线解析式为$y=(x-1)^2$。
(2) 设向上平移$n$个单位，平移后解析式为$y=(x+1)^2 -4 +n$，将$(0,0)$代入得$0=(0+1)^2 -4 +n$，解得$n=3$，即向上平移3个单位（答案不唯一，合理即可）。
(3) 令$y=0$，则$(x+1)^2 -4=0$，解得$x=-3$或$x=1$。抛物线开口向上，故当$x ＜ -3$或$x ＞ 1$时，函数值大于0；当$-3 ＜ x ＜ 1$时，函数值小于0。

【例1】二次函数 $ y = x^2 + bx + c $ 的图象经过点 $ (4, 3) $,$ (3, 0) $。
(1) 求 $ b $,$ c $ 的值；
(2) 求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
(3) 在如图22.1.5 - 1所给坐标系中画出二次函数 $ y = x^2 + bx + c $ 的图象。

解：

答案：

(1)
将点$(4, 3)$，$(3, 0)$代入$y = x^{2}+bx + c$可得：
$\begin{cases}3 = 16 + 4b + c\\0 = 9+3b + c\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去$c$：
$3-(0)=(16 + 4b + c)-(9 + 3b + c)$
$3=16 + 4b + c - 9 - 3b - c$
$3 = 7 + b$
解得$b=-4$
把$b = - 4$代入$0 = 9+3b + c$得：
$0=9+3×(-4)+c$
$0=9 - 12 + c$
$c = 3$
(2)
对于二次函数$y=x^{2}-4x + 3$，将其化为顶点式：
$y=x^{2}-4x + 3=(x - 2)^{2}-4 + 3=(x - 2)^{2}-1$
所以顶点坐标为$(2,-1)$，对称轴为直线$x = 2$
(3)