《2025年人教金学典同步解析与测评九年级数学上册人教版重庆专版》

 8. 小明家的房子前面有一块空地,空地上有三棵树A,B,C,如图24.2.1-8所示,小明想建一个圆形花坛,使三棵树都在花坛的边上.
(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)；
(2)若在△ABC中,AB= 8m,AC= 6m,∠BAC= 90°,试求小明家圆形花坛的面积.

答案：

(1)  
(2)
∵∠BAC=90°，AB=8m，AC=6m，
∴BC为△ABC外接圆的直径，
BC=$\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10$m，
∴外接圆半径$r=\frac{BC}{2}=5$m，
∴圆形花坛的面积$S=\pi r^{2}=25\pi$m²。
答：小明家圆形花坛的面积为25π m²。

9. 如图24.2.1-9,AD为△ABC外接圆的直径,AD⊥BC,垂足为F,∠ABC的平分线交AD于点E,连接BD,CD.
(1)求证：BD= CD.
(2)请判断B,E,C三点是否在以点D为圆心,以DB为半径的圆上？并说明理由.

答案：
(1)证明：
∵AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，
∴由垂径定理得：AD平分弧BC，即弧BD=弧CD．
∵等弧所对的弦相等，
∴BD=CD．
(2)B，E，C三点在以点D为圆心，以DB为半径的圆上．理由如下：
由
(1)知BD=CD，需证DE=DB．
∵AD为直径，
∴∠ABD=90°，即∠ABE+∠EBD=90°．
∵AD⊥BC，
∴∠AFB=90°，
∴∠BAE+∠ABE=90°，故∠BAE=∠EBD．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE．
∵∠BED=∠BAE+∠ABE（三角形外角性质），
∠DBE=∠DBC+∠CBE，
又
∵弧BD=弧CD（垂径定理），
∴∠DBC=∠BAE（等弧所对圆周角相等），
∴∠DBE=∠BAE+∠CBE=∠BAE+∠ABE=∠BED．
∴△DBE中，DB=DE．
又
∵DB=CD，
∴DB=DE=DC．
∴B，E，C三点到点D的距离均为DB，故三点在以D为圆心，DB为半径的圆上．

【例】在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90° $,$ AC = 3 cm $,$ BC = 4 cm $,以 $ C $ 为圆心,$ r $ 为半径作圆,若圆 $ C $ 与直线 $ AB $ 相切,则 $ r $ 的值为(B)
A.$ 2 cm $
B.$ 2.4 cm $
C.$ 3 cm $
D.$ 4 cm $

答案： B

【针对训练】如图 24.2.2 - 1,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = 6 $,$ AC = 8 $,$ BC = 10 $,$ D $,$ E $ 分别是 $ AC $,$ AB $ 的中点,则以 $ DE $ 为直径的圆与 $ BC $ 所在直线的位置关系是(A)

A.相交
B.相切
C.相离
D.无法确定

答案： A