《2025年人教金学典同步解析与测评九年级数学上册人教版重庆专版》

3. 已知二次函数 $ y = x^{2} - 3x + m $($ m $ 为常数)的图象与 $ x $ 轴的一个交点为 $ (1,0) $,则关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2} - 3x + m = 0 $ 的两实数根是(B)
A.$ x_{1} = 1 $,$ x_{2} = - 1 $
B.$ x_{1} = 1 $,$ x_{2} = 2 $
C.$ x_{1} = 1 $,$ x_{2} = 0 $
D.$ x_{1} = 1 $,$ x_{2} = 3 $

答案： B

4. 二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象如图 22.2 - 1 所示,则下列关系式错误的是(D)

A.$ a ＞ 0 $
B.$ c ＞ 0 $
C.$ b^{2} - 4ac ＞ 0 $
D.$ a + b + c ＞ 0 $

答案： D

5. 已知二次函数 $ y = (a - 1)x^{2} + 2ax + 3a - 2 $ 的图象的最低点在 $ x $ 轴上,则 $ a = $2。

答案： 2

6. 若函数 $ y = mx^{2} + 2x + 1 $ 的图象与 $ x $ 轴只有一个交点,则常数 $ m $ 的值是$0$或$1$。

答案： $0$或$1$（由于本题为填空题，直接填写最终答案即可，即填写“$0$或$1$”）。

7. 已知二次函数 $ y = 2x^{2} - mx - m^{2} $。
(1)求证：对于任意实数 $ m $,该二次函数的图象与 $ x $ 轴总有公共点；
(2)若该二次函数的图象与 $ x $ 轴有两个公共点 $ A $,$ B $,且 $ A $ 点坐标为 $ (1,0) $,求 $ B $ 点坐标。

答案：
(1)证明：令$y=0$，则$2x^{2}-mx - m^{2}=0$，$\Delta =(-m)^{2}-4×2×(-m^{2})=m^{2}+8m^{2}=9m^{2}\geq0$，所以对于任意实数$m$，该二次函数的图象与$x$轴总有公共点。
(2)解：因为$A(1,0)$在抛物线上，所以$2×1^{2}-m×1 - m^{2}=0$，即$m^{2}+m - 2=0$，解得$m_{1}=1$，$m_{2}=-2$。
当$m=1$时，二次函数为$y=2x^{2}-x - 1$，令$y=0$，则$2x^{2}-x - 1=0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=-\frac{1}{2}$，所以$B\left(-\frac{1}{2},0\right)$。
当$m=-2$时，二次函数为$y=2x^{2}+2x - 4$，令$y=0$，则$2x^{2}+2x - 4=0$，即$x^{2}+x - 2=0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=-2$，所以$B(-2,0)$。
综上，$B$点坐标为$\left(-\frac{1}{2},0\right)$或$(-2,0)$。