《2025年人教金学典同步解析与测评九年级数学上册人教版重庆专版》

10. 阅读下列利用因式分解法解方程的方法：
一般地,因为$(x+a)(x+b)= x^{2}+(a+b)x+ab$,
所以$x^{2}+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b)$.
这就是说,对于二次式$x^{2}+px+q$,若能找到两个数$a$,$b$,使$\begin{cases}a+b= p,\\a\cdot b= q,\end{cases} 则就有x^{2}+px+q= x^{2}+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b)$.这种因式分解方法的特征是“拆常数项,凑一次项”,即$a$,$b$的乘积等于常数项,$a$,$b$的和为一次项系数.利用这种因式分解的方法解下列一元二次方程.
(1)$x^{2}-3x-4= 0$；
(2)$x^{2}+4x-5= 0$.

答案：
(1)解方程$x^{2}-3x - 4 = 0$
因为常数项$-4 = -4×1$，一次项系数$-3=-4 + 1$
所以原方程可因式分解为$(x - 4)(x + 1)=0$
则$x - 4 = 0$或$x + 1 = 0$
解得$x_{1}=4$，$x_{2}=-1$
(2)解方程$x^{2}+4x - 5 = 0$
因为常数项$-5 = 5×(-1)$，一次项系数$4 = 5+(-1)$
所以原方程可因式分解为$(x + 5)(x - 1)=0$
则$x + 5 = 0$或$x - 1 = 0$
解得$x_{1}=-5$，$x_{2}=1$

【例1】已知方程 $2x^{2}+3x - 1 = 0$ 的两个根是 $x_{1},x_{2}$,不解方程,求下列各式的值：
(1) $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$；(2) $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$。
解：

答案： 答题卡：
(1)
由一元二次方程根与系数关系得：
$x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a} = -\frac{3}{2}$，
$x_{1}x_{2} = \frac{c}{a} = -\frac{1}{2}$，
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2x_{1}x_{2}$
$= (-\frac{3}{2})^{2} - 2 × (-\frac{1}{2})$
$= \frac{9}{4} + 1$
$= \frac{13}{4}$
(2)
$\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1}x_{2}}$
$= \frac{-\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}}$
$= 3$