《2025年人教金学典同步解析与测评九年级数学上册人教版重庆专版》

【例2】已知关于$x的一元二次方程x^{2}-(2k + 1)x + k^{2}+2k = 0有两个实数根x_{1}$,$x_{2}$。
(1)求实数$k$的取值范围。
(2)是否存在实数$k使得x_{1}x_{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\geq0$成立？若存在,请求出$k$的值；若不存在,请说明理由。

答案：
(1)
方程 $x^{2}-(2k + 1)x + k^{2}+2k = 0$ 有两个实数根，则判别式 $\Delta\geq0$。
其中 $a = 1$，$b=-(2k + 1)$，$c = k^{2}+2k$，$\Delta=b^{2}-4ac=[-(2k + 1)]^{2}-4(k^{2}+2k)=4k^{2}+4k + 1-4k^{2}-8k=1 - 4k\geq0$，
解得 $k\leq\frac{1}{4}$。
(2)
由韦达定理可知，对于一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，若方程的两根为 $x_{1}$ 和 $x_{2}$，则 $x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。
对于方程 $x^{2}-(2k + 1)x + k^{2}+2k = 0$，$x_{1}+x_{2}=2k + 1$，$x_{1}x_{2}=k^{2}+2k$。
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=(2k + 1)^{2}-2(k^{2}+2k)=4k^{2}+4k + 1-2k^{2}-4k=2k^{2}+1$。
若 $x_{1}x_{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\geq0$ 成立，则 $k^{2}+2k-(2k^{2}+1)\geq0$，
即 $-k^{2}+2k - 1\geq0$，变形为 $k^{2}-2k + 1\leq0$，即 $(k - 1)^{2}\leq0$。
因为任何数的平方都为非负数，所以 $(k - 1)^{2}=0$，解得 $k = 1$。
又因为由（1）知 $k\leq\frac{1}{4}$，而 $1＞\frac{1}{4}$，所以不存在这样的 $k$ 值，使 $x_{1}x_{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\geq0$ 成立。
综上，答案依次为：
(1)$k\leq\frac{1}{4}$；
(2)不存在，理由如上述步骤。

【针对训练】
2. 关于$x的一元二次方程x^{2}+3x + m - 1 = 0的两个实数根分别为x_{1}$,$x_{2}$。
(1)$m$的取值范围为$m \leq \frac{13}{4}$；
(2)若$2(x_{1}+x_{2})+x_{1}x_{2}+10 = 0$,则$m=$$-3$。

答案： （1）$m \leq \frac{13}{4}$；（2）$m =-3$。

【例3】某单位开展了“一方有难,八方支援”赈灾捐款活动。第一天收到捐款10000元,第三天收到捐款12100元。
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同,求捐款增长率；
(2)按照(1)中收到捐款的增长速度,第四天该单位能收到多少捐款？

答案： 答题卡：
(1) 设捐款增长率为 $x$，依题意有：
$10000(1 + x)^{2} = 12100$，
$ (1 + x)^{2} = 1.21$，
解得 $x_{1} = 0.1$， $x_{2} = -2.1$（舍去）。
答：捐款增长率为 $10\%$。
(2)
$12100 × (1 + 10\%) = 12100 × 1.1 = 13310 (元]$。
答：第四天该单位能收到$13310$元捐款。

【针对训练】
3. 某渔船出海捕鱼,2021年平均每次捕鱼量为10t,2023年平均每次捕鱼量为8.1t,则2021—2023年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率为10%。

答案： $10\%$