《2025年人教金学典同步解析与测评九年级数学上册人教版重庆专版》

6. 已知抛物线 $ y = -x^2 + bx + c $ 经过点 $ A(3, 0) $,点 $ B(-1, 0) $。
(1) 求抛物线对应的函数解析式；
(2) 求抛物线的顶点坐标。

答案： （1）因为抛物线$y = -x^2 + bx + c$经过点$A(3,0)$，点$B(-1,0)$，
将$A(3,0)$，$B(-1,0)$代入，得：
$\begin{cases}-9 + 3b + c = 0,\\-1 - b + c = 0.\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}b = 2,\\c = 3.\end{cases}$
所以抛物线对应的函数解析式为$y = -x^2 + 2x + 3$。
（2）因为$y = -x^2 + 2x + 3=-(x - 1)^2 + 4$，
所以抛物线的顶点坐标为$(1,4)$。

7. 当 $ k $ 分别取 $ -1 $,$ 1 $,$ 2 $ 时,函数 $ y = (k - 1)x^2 - 4x + 5 - k $ 都有最大值吗？请写出你的判断,并说明理由；若有,请求出最大值。

答案： 当$k = -1$时，函数$y = (k - 1)x^{2} - 4x + 5 - k$变为$y = - 2x^{2} - 4x + 6$，
因为$a=-2\lt0$，所以函数有最大值，
通过配方，将其化为顶点式：
$y = - 2x^{2} - 4x + 6 = - 2(x + 1)^{2} + 8$，
所以，当$x = - 1$时，$y$有最大值，最大值为$8$。
当$k = 1$时，函数变为$y = - 4x + 4$，
这是一次函数，$k=-4\lt0$，$y$随$x$的增大而减小，无最大值。
当$k = 2$时，函数变为$y = x^{2} - 4x + 3$，
因为$a=1\gt0$，所以二次函数开口向上，$y$随$x$的增大而增大，无最大值。
综上所述，当$k = - 1$时，函数有最大值，最大值为$8$；当$k = 1$或$k = 2$时，函数无最大值。

【例1】已知抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 与 $ x $ 轴相交于两点 $ A(1,0) $,$ B(3,0) $,与 $ y $ 轴相交于点 $ C(0,3) $。求抛物线对应的函数解析式。
解：

答案： 答：
因为抛物线 $y = ax^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴相交于两点 $A(1,0)$，$B(3,0)$，
所以设抛物线的解析式为 $y = a(x - 1)(x - 3)$。
将点 $C(0,3)$ 代入解析式，得：
$3 = a(0 - 1)(0 - 3)$，
$3 = 3a$，
解得 $a = 1$。
将 $a = 1$ 代入 $y = a(x - 1)(x - 3)$，
得到抛物线的解析式为 $y = (x - 1)(x - 3) = x^{2} - 4x + 3$。
所以该抛物线的函数解析式为$y = x^{2} - 4x + 3$。

【针对训练】
1. 抛物线经过点 $ (2,3) $,且顶点为 $ (3,-1) $,则抛物线对应的函数解析式为$y =4 (x - 3) ^ { 2 } - 1$（或 $y = 4x^{2} - 24x + 35$）。

答案： $y =4 (x - 3) ^ { 2 } - 1$（或 $y = 4x^{2} - 24x + 35$）

【例2】如图22.1.6-1,四边形 $ ABCD $ 是等腰梯形,下底 $ AB $ 在 $ x $ 轴上,点 $ D $ 在 $ y $ 轴上,直线 $ AC $ 与 $ y $ 轴交于点 $ E(0,1) $,点 $ C $ 的坐标为 $ (2,3) $。
(1) 求 $ A $,$ D $ 两点的坐标；
(2) 求经过 $ A $,$ D $,$ C $ 三点的抛物线对应的函数解析式。
解：

答案：
(1)A(-1,0)，D(0,3)；
(2)y=-x²+2x+3。