《2025年人教金学典同步解析与测评九年级数学上册人教版重庆专版》

8. 如图 24.2.2 - 7,已知 $ \angle A = 30° $,$ O $ 为 $ AN $ 上一点,以 $ O $ 为圆心,$ 2 $ 为半径作 $ \odot O $,交 $ AN $ 于 $ D $,$ E $ 两点,设 $ AD = x $。

(1) 如图 24.2.2 - 7①,当 $ x $ 为何值时,$ \odot O $ 与 $ AM $ 相切？
(2) 如图 24.2.2 - 7②,当 $ x $ 为何值时,$ \odot O $ 与 $ AM $ 相交于 $ B $,$ C $ 两点,且 $ \angle BOC = 90° $？

答案：
(1) 2；
(2) 2√2-2。

【例1】如图24.2.3-1,线段AB经过圆心O,交⊙O于A,C两点,BD交⊙O于点D,∠BAD= ∠B= 30°,问：BD是⊙O的切线吗？为什么？
解：

答案： BD是⊙O的切线。
证明：连接OD。
∵OA=OD，∠BAD=30°，
∴∠ODA=∠BAD=30°。
∵∠B=30°，∠BAD=30°，
∴∠ADB=180°-∠BAD-∠B=120°。
∵∠ODA=30°，∠ADB=120°，
∴∠ODB=∠ADB-∠ODA=90°。
∵OD是⊙O的半径，∠ODB=90°，
∴BD是⊙O的切线。

【针对训练】
1. 如图24.2.3-2,AB为⊙O的弦,若OA⊥OD,且CD= BD. 求证：BD是⊙O的切线.

答案： 证明：连接OB
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA设为α
∵OA⊥OD，
∴∠AOD=90°
在Rt△AOC中，∠OAC+∠ACO=90°，即α+∠ACO=90°，
∴∠ACO=90°-α
∵∠ACO=∠BCD（对顶角相等），
∴∠BCD=90°-α
∵CD=BD，
∴∠DBC=∠BCD=90°-α
∵∠OBA+∠DBC=α+(90°-α)=90°，即∠OBD=90°
∴OB⊥BD
∵OB是⊙O半径，
∴BD是⊙O的切线

【例2】如图24.2.3-3,AM切⊙O于点A,BD⊥AM于点D,BD交⊙O于点C,OC平分∠AOB. 求∠B的度数.
解：

答案： 45°