《2025年人教金学典同步解析与测评九年级数学上册人教版重庆专版》

【例1】已知二次函数 $ y = kx^{2} - 2x + \frac{3}{2} $($ k $是常数),若该函数的图象与 $ x $ 轴只有一个交点,求 $ k $ 的值。
解：

答案： 由题意，因为函数图像与$x$轴只有一个交点，
所以判别式$\Delta =b^2-4ac=0$，
其中$a = k$，$b = -2$，$c = \frac{3}{2}$，
代入得：
$\Delta= (-2)^2 - 4 × k × \frac{3}{2} = 0 $
$4 - 6k = 0 $
$k = \frac{2}{3}$
另外，由于是二次函数，所以$k \neq 0$，
综上，$k$的值为$\frac{2}{3}$。

【针对训练】
1. 抛物线 $ y = - 3x^{2} + 4 - x $ 与坐标轴的交点个数是(A)
A.3
B.2
C.1
D.0

答案： A

【例2】利用二次函数的图象求一元二次方程 $ x^{2} - 2x - 1 = 0 $ 的实数根。(精确到 $ 0.1 $)
解：

答案： 1. 设二次函数$y = x^2 - 2x - 1$，其图象与x轴交点的横坐标即为方程$x^2 - 2x - 1 = 0$的根。
2. 确定函数性质：$a=1＞0$，开口向上；对称轴$x=-\frac{b}{2a}=1$；顶点坐标$(1,-2)$。
3. 取点列表：
$x=-1$时，$y=(-1)^2 - 2×(-1)-1=2$，得点$(-1,2)$；
$x=0$时，$y=-1$，得点$(0,-1)$；
$x=1$时，$y=-2$，得点$(1,-2)$；
$x=2$时，$y=-1$，得点$(2,-1)$；
$x=3$时，$y=2$，得点$(3,2)$。
4. 画图可知抛物线与x轴交于两点，设根为$x_1$（左侧）、$x_2$（右侧）。
5. 求$x_1$：
由$x=-1$（$y=2＞0$），$x=0$（$y=-1＜0$），得$-1＜x_1＜0$；
逐步取中间值计算：$x=-0.5$（$y=0.25＞0$），$x=-0.25$（$y=-0.4375＜0$），$x=-0.375$（$y≈-0.11＜0$），$x=-0.4375$（$y≈0.07＞0$），得$-0.4375＜x_1＜-0.375$，精确到0.1为$x_1≈-0.4$。
6. 求$x_2$：
由$x=2$（$y=-1＜0$），$x=3$（$y=2＞0$），得$2＜x_2＜3$；
逐步取中间值计算：$x=2.5$（$y=0.25＞0$），$x=2.25$（$y=-0.4375＜0$），$x=2.375$（$y≈-0.11＜0$），$x=2.4375$（$y≈0.06＞0$），得$2.375＜x_2＜2.4375$，精确到0.1为$x_2≈2.4$。
7. 结论：方程的实数根为$x_1≈-0.4$，$x_2≈2.4$。

【针对训练】
2. 根据下列表格中二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的自变量 $ x $ 与函数值 $ y $ 的对应值,判断方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $($ a \neq 0 $,$ a $,$ b $,$ c $ 为常数)的一个解 $ x $ 的范围是(C)
 


A.$ 6 ＜ x ＜ 6.17 $
B.$ 6.17 ＜ x ＜ 6.18 $
C.$ 6.18 ＜ x ＜ 6.19 $
D.$ 6.19 ＜ x ＜ 6.20 $

答案： C

1. 抛物线 $ y = x^{2} - 2x + 1 $ 与 $ x $ 轴的交点个数是(B)
A.0
B.1
C.2
D.3

答案： B

2. 在平面直角坐标系中作出二次函数 $ y = x^{2} + 2x - 10 $ 的图象,由图象,知方程 $ x^{2} + 2x - 10 = 0 $ 有两个根,一个在 $ - 5 $ 和 $ - 4 $ 之间,另一个在 $ 2 $ 和 $ 3 $ 之间。利用计算器进行探索得出下表,则方程的一个近似根是(C)

A.- 4.1
B.- 4.2
C.- 4.3
D.- 4.4

答案： C