《2025年人教金学典同步解析与测评九年级数学上册人教版重庆专版》

【例 1】某校学生积极参与“保护濒危动物”的活动,他们购进一批单价为 20 元的“文化衫”,在课余时间进行义卖.在义卖过程中发现,若每件按 24 元的价格销售时,每天能卖出 36 件；若每件按 29 元的价格销售时,每天能卖出 21 件.假定每天销售数量 $ y $(单位：件)与销售价格 $ x $(单位：元/件)满足一个以 $ x $ 为自变量的一次函数.
(1)求 $ y $ 与 $ x $ 满足的函数关系式(不要求写出 $ x $ 的取值范围)；
(2)在不积压且不考虑其他因素的情况下,销售价格定为多少时,才能使每天获得的利润 $ P $ 最大？
解：

答案：
(1) 设销售数量 $y$ 与销售价格 $x$ 的关系为线性函数 $y = kx + b$。
根据题意，有以下方程组：
$\begin{cases}24k + b = 36, \\29k + b = 21.\end{cases}$
解这个方程组，得到：
$\begin{cases}k = -3, \\b = 108.\end{cases}$
因此，销售数量 $y$ 与销售价格 $x$ 的函数关系式为 $y = -3x + 108$。
(2) 根据题意，每天获得的利润 $P$ 可以表示为：
$P = (x - 20)(-3x + 108) = -3x^2 + 168x - 2160= -3(x - 28)^2 + 192$
由于 $a = -3 ＜ 0$，这是一个开口向下的抛物线，因此当 $x = 28$ 时，$P$ 取得最大值。
所以销售价格定为 $28$ 元/件时，每天获得的利润 $P$ 最大。

【针对训练】
1.某产品每件的成本为 10 元,试销阶段该产品的销售单价 $ x $(单位：元)与产品的日销售量 $ y $(单位：件)之间的关系如下表：
 

已知日销售量 $ y $ 是销售单价 $ x $ 的一次函数.
(1)求出日销售量 $ y $(单位：件)与销售单价 $ x $(单位：元)的函数关系式.
(2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售单价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？

答案：
(1) 设函数关系式为 $y = kx + b$。
代入点 $(15, 25)$ 和 $(20, 20)$ 到 $y = kx + b$，得到方程组：
$\begin{cases}15k + b = 25, \\20k + b = 20.\end{cases}$
解得$k = -1$，$b = 40$。
因此，日销售量 $y$ 与销售单价 $x$ 的函数关系式为 $y = -x + 40$。
(2) 设每日销售利润为 $w$ 元。则
$w = (x - 10)(-x + 40)$
$ = -x^2 + 50x - 400 $
$ = -(x - 25)^2 + 225$
由于二次项系数为负，这是一个开口向下的抛物线，因此当 $x = 25$ 时，$w$ 取得最大值，即 $225$ 元。
答：要使每日销售利润最大，每件产品的销售单价应定为 $25$ 元，此时每日销售利润是 $225$ 元。