《2025年人教金学典同步解析与测评九年级数学上册人教版重庆专版》

6.一种特色产品畅销全国,现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利 10 元,每天可售出 50 箱；若每箱产品每涨价 1 元,日销售量将减少 2 箱.
(1)现要使该销售点每天刚好盈利 600 元,同时又要顾客得到实惠,那么每箱产品应涨价多少元？
(2)若该销售点单纯从经济角度考虑,每箱产品应涨价多少元才能获利最高？

答案：
(1)设每箱产品应涨价$x$元，则每天可以销售量为$50 - 2x$（因为每涨价1元，日销售量减少2箱）箱，每箱的盈利为$10 + x$元。
根据题意，盈利公式为：
$(10 + x)(50 - 2x) = 600$，
展开得：
$500 + 50x - 20x - 2x^2 = 600$，
整理得：
$2x^2 - 30x + 100 = 0$，
$x^2 - 15x + 50 = 0$，
通过求解此二次方程，得到：
$x_1 = 5$，$x_2 = 10$，
由于要使顾客得到实惠，所以选择涨价较少的情况，即$x = 5$。
答：每箱产品应涨价5元。
(2)设利润为$y$元，则根据题意有：
$y = (10 + x)(50 - 2x)$
$= -2x^2 + 30x + 500$
这是一个开口向下的二次函数，其最大值出现在对称轴上，对称轴的公式为$x = -\frac{b}{2a}$，代入$a = -2$，$b = 30$得：
$x = 7.5$，
将$x = 7.5$代入原方程得：
$y = -2(7.5)^2 + 30(7.5) + 500 = 612.5$，
答：若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱产品应涨价7.5元才能获利最高。

7.某商场购进一批单价为 4 元的日用品,若按 5 元每件的价格销售,每月能卖出 3 万件；若按 6 元每件的价格销售,每月能卖出 2 万件,假定每月销售件数 $ y $(单位：件)与价格 $ x $(单位：元/件)之间满足一次函数关系.
(1)试求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式.
(2)当销售价格定为多少时,才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？

答案：
(1) 设销售件数 $y$ 与价格 $x$ 之间的函数关系为 $y = kx + b$。
根据题意，当 $x = 5$ 时，$y = 30000$；当 $x = 6$ 时，$y = 20000$。
代入得：
$\begin{cases}5k + b = 30000, \\6k + b = 20000.\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}k = -10000, \\b = 80000.\end{cases}$
因此，$y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为 $y = -10000x + 80000$。
(2) 设每月的利润为 $W$ 元，利润函数为：
$W = (x - 4)(-10000x + 80000)$
$= -10000x^2 + 120000x - 320000$
$= -10000(x - 6)^2 + 40000$
由于二次项系数为负，这是一个开口向下的抛物线，因此当 $x = 6$ 时，$W$ 取得最大值，即 $W_{max} = 40000$ 元。
答：当销售价格定为 6 元/件时，每月的利润最大，最大利润为 40000 元。

8.如图 22.3.1 - 2,正方形 $ ABCD $ 的边长为 $ 3a $,两动点 $ E $,$ F $ 分别从顶点 $ B $,$ C $ 同时开始以相同速度沿 $ BC $,$ CD $ 运动,与 $ \triangle BCF $ 相应的 $ \triangle EGH $ 在运动过程中始终保持 $ \triangle EGH \cong \triangle BCF $,$ B $,$ E $,$ C $,$ G $ 在同一直线上.
(1)若 $ BE = a $,求 $ DH $ 的长.
(2)当点 $ E $ 在 $ BC $ 边上的什么位置时,$ \triangle DHE $ 的面积取得最小值？并求该三角形面积的最小值.

答案：
(1) √5 a；
(2) E为BC中点时，面积最小，最小值为27a²/8。