《2025年人教金学典同步解析与测评九年级数学上册人教版重庆专版》

【针对训练】
1. 已知 $x_{1},x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2}-2x = 0$ 的两根,则 $x_{1}+x_{2}$ 的值是( B)

A.0
B.2
C.$-2$
D.4

答案： B

【例2】已知 $2-\sqrt{5}$ 是一元二次方程 $x^{2}-4x + c = 0$ 的一个根,求方程的另一个根及 $c$ 的值。
解：

答案： 解：
设方程的另一个根为$x_{1}$，
由根与系数的关系，得$\left \{ \begin{matrix} 2-\sqrt{5} +x_{1}=4, \\ (2-\sqrt{5})x_{1}=c.\end{matrix} \right.$
所以$x_{1} = 4 - (2 - \sqrt{5}) = 2 + \sqrt{5}$，
$c = (2 - \sqrt{5})(2 + \sqrt{5}) = 4 - 5 = -1$。
所以，方程的另一个根是$2 + \sqrt{5}$，$c$的值是$-1$。

【针对训练】
2. 已知一元二次方程 $x^{2}-6x + c = 0$ 有一个根为 2,则另一个根为(C)
A.2
B.3
C.4
D.8

答案： C

1. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+kx - 3 = 0$ 的一个根是 1,则另一个根是(C)
A.3
B.$-1$
C.$-3$
D.$-2$

答案： C

2. 已知方程 $x^{2}-5x + 2 = 0$ 的两个解分别为 $x_{1},x_{2}$,则 $x_{1}+x_{2}-x_{1}x_{2}$ 的值为(D)
A.$-7$
B.$-3$
C.7
D.3

答案： D

3. 设 $x_{1},x_{2}$ 是方程 $x^{2}+3x - 3 = 0$ 的两个实数根,则 $\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}$ 的值为(B)
A.5
B.$-5$
C.1
D.$-1$

答案： B

4. 已知 $m$ 和 $n$ 是方程 $2x^{2}-5x - 3 = 0$ 的两根,则 $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}= $$-\frac{5}{3}$。

答案： $-\frac{5}{3}$（题目是填空题，若按选项形式，假设对应选项为某代表值，这里按要求只填结果对应形式，若为选项题设对应选项为符合$-\frac{5}{3}$的选项）

5. 设 $x_{1},x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2}+4x - 3 = 0$ 的两个根,$2x_{1}(x_{2}^{2}+5x_{2}-3)+a = 2$,则 $a= $8。

答案： $8$

6. 已知 $x_{1},x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2}-4x + 1 = 0$ 的两个实数根,求 $(x_{1}+x_{2})^{2}÷(\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}})$ 的值。

答案： 根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）得：
$x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a} = 4$，
$x_{1}x_{2} = \frac{c}{a} = 1$，
原式$=(x_{1} + x_{2})^{2} ÷ \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1}x_{2}}$
$=(x_{1} + x_{2}) × x_{1}x_{2}$
将$x_{1} + x_{2} = 4$，$x_{1}x_{2} = 1$代入得：
$4× 1 = 4$
综上，值为4。

7. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}= 2(1 - m)x - m^{2}$ 的两个实数根为 $x_{1},x_{2}$。
(1) 求 $m$ 的取值范围；
(2) 设 $y = x_{1}+x_{2}$,当 $y$ 取得最小值时,求相应 $m$ 的值,并求出 $y$ 的最小值。

答案：
(1)
首先将原方程 $x^{2}=2(1 - m)x - m^{2}$ 化为一般形式：
$x^{2}+2(m - 1)x + m^{2}=0$
因为方程有两个实数根，所以判别式 $\Delta\geqslant0$。
其中 $a = 1$，$b = 2(m - 1)$，$c = m^{2}$，则 $\Delta=b^{2}-4ac=[2(m - 1)]^{2}-4m^{2}$
$\Delta = 4(m^{2}-2m + 1)-4m^{2}=4m^{2}-8m + 4-4m^{2}=4 - 8m\geqslant0$
解不等式 $4 - 8m\geqslant0$，得 $m\leqslant\frac{1}{2}$。
(2)
由根与系数的关系 $x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，对于方程 $x^{2}+2(m - 1)x + m^{2}=0$，$a = 1$，$b = 2(m - 1)$，所以 $y=x_{1}+x_{2}=-2(m - 1)=-2m + 2$
因为 $y=-2m + 2$ 是一次函数，且 $k=-2\lt0$，$y$ 随 $m$ 的增大而减小。
又因为 $m\leqslant\frac{1}{2}$，所以当 $m=\frac{1}{2}$ 时，$y$ 取得最小值。
把 $m=\frac{1}{2}$ 代入 $y=-2m + 2$，得 $y=-2×\frac{1}{2}+2=1$。
综上，
(1) $m$ 的取值范围是 $m\leqslant\frac{1}{2}$；
(2) 当 $m=\frac{1}{2}$ 时，$y$ 取得最小值，$y$ 的最小值为 $1$。