《2025年人教金学典同步解析与测评九年级数学上册人教版重庆专版》

【例1】 如图24.2.1-1,在△ABC中,∠ACB= 90°,AC= 4,BC= 5,AB的中点为点M.

(1)以点C为圆心,4为半径作⊙C,则点A,B,M分别与⊙C有怎样的位置关系？
(2)若以点C为圆心作⊙C,使A,B,M三点中至少有一点在⊙C内,且至少有一点在⊙C外,求⊙C的半径r的取值范围.
解：

答案：
(1)
已知在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = 4$，$BC = 5$，$M$是$AB$中点。
因为点$A$到圆心$C$的距离$AC = 4$，等于$\odot C$半径$4$，所以点$A$在$\odot C$上。
点$B$到圆心$C$的距离$BC = 5$，$5\gt4$，所以点$B$在$\odot C$外。
在$Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{4^{2}+5^{2}}=\sqrt{16 + 25}=\sqrt{41}$，因为$M$是$AB$中点，所以$CM=\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{41}}{2}$，$\frac{\sqrt{41}}{2}\approx3.2\lt4$，所以点$M$在$\odot C$内。
(2)
由
(1)可知$AC = 4$，$CM=\frac{\sqrt{41}}{2}\approx3.2$，$BC = 5$。
因为$A$，$B$，$M$三点中至少有一点在$\odot C$内，且至少有一点在$\odot C$外，所以$\frac{\sqrt{41}}{2}\lt r\lt5$。

【针对训练】
1. 如图24.2.1-2,在A岛附近,半径约为250km的范围内是暗礁区,往北300km处有一灯塔B,往西400km处有一灯塔C,现有一渔船沿CB方向航行,渔船是否会进入暗礁区？说明理由.

答案： 设A岛位置为坐标原点（建立平面坐标系），向北为y轴正方向，向西为x轴正方向。
则灯塔$B$的坐标为$(0,300)$，灯塔$C$的坐标为$(-400,0)$。
直线$CB$的方程：
两点坐标：$C(-400,0)$，$B(0,300)$。
斜率$k = \frac{300 - 0}{0 - (-400)} = \frac{3}{4}$。
直线方程为$y - 0 = \frac{3}{4}(x + 400)$，即$y = \frac{3}{4}x + 300$。
圆心$A$到直线$CB$的距离公式：
直线的一般式：$\frac{3}{4}x - y + 300 = 0$，即$3x - 4y + 1200 = 0$。
点$A(0,0)$到直线的距离：
$d = \frac{|3 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 1200|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{1200}{5} = 240 km$。
暗礁区半径为$250km$，而$d = 240km ＜ 250km$。
因此，渔船沿$CB$方向航行时，会进入暗礁区。

【例2】 如图24.2.1-3所示,残破的圆形轮片上,弦AB的垂直平分线交$\overset{\frown}{AB}$于点C,交弦AB于点D. 已知AB= 24cm,CD= 8cm.
(1)求作此残片所在的圆；
(2)求(1)中所作圆的半径.
解：

答案：

(1) 作法：
连接$AC$，作线段$AC$的垂直平分线，与$CD$延长线交于点$O$，以$O$为圆心，$OA$长为半径作圆，即为所求作的圆。
(2)设圆的半径为$R$ $cm$，
由题意，$AD =\frac{1}{2}AB = 12$ $cm$，$CD = 8$ $cm$，
因为$OD\perp AB$，
在$Rt\triangle ADO$中，
$OA^2 = AD^2 + OD^2$，
即$R^2 = 12^2 + (R - 8)^2$，
$R^2=144+R^2 - 16R + 64$，
$16R=208$，
解得$R = 13$。
答：所作圆的半径为$13cm$。