《2025年人教金学典同步解析与测评九年级数学上册人教版重庆专版》

【例1】若 $ y = (m + 1)x^{m^{2}-m} + 3x $ 是关于 $ x $ 的二次函数,求 $ m $ 的值及函数解析式。
解：

答案： 根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$是常数，$a\neq0$）的函数叫做二次函数。
对于函数$y=(m + 1)x^{m^{2}-m} + 3x$，要使其为二次函数，需满足：
1. 最高次项指数为$2$，即$m^2 - m = 2$；
2. 二次项系数不为$0$，即$m + 1\neq0$。
解方程$m^2 - m = 2$：
$m^2 - m - 2 = 0$
$(m - 2)(m + 1)=0$
解得$m = 2$或$m=-1$。
又因为$m + 1\neq0$，所以$m\neq -1$，故$m = 2$。
将$m = 2$代入函数，得：
$y=(2 + 1)x^{2^2 - 2} + 3x = 3x^2 + 3x$。
综上，$m$的值为$2$，函数解析式为$y = 3x^2 + 3x$。

【针对训练】
1. 下列函数中,哪些是 $ y $ 关于 $ x $ 的二次函数？
(1) $ y = ax^{2} - 11x + 2 $；(2) $ y = 3 - 5x - 7x^{2} $；
(3) $ y = -(x - 1)^{2} $；(4) $ y = -\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{4} - 6 $；
(5) $ y = 6a^{2} - 5a + x $。

答案：
(1) 当 $a \neq 0$ 时是二次函数，当 $a = 0$ 时不是，由于未明确 $a$ 的取值，故不确定。
(2) 是二次函数。
(3) 是二次函数。
(4) 是二次函数。
(5) 不是二次函数。
结论：
(2)
(3)
(4)是 $y$ 关于 $x$ 的二次函数。

【例2】某中学课外活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为 $ 20 \, m $ 的篱笆围成。已知墙长为 $ 12 \, m $(如图22.1.1 - 1所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为 $ x \, m $。

(1) 若平行于墙的一边的长为 $ a \, m $,直接写出 $ a $ 与 $ x $ 之间的函数关系式及自变量 $ x $ 的取值范围；
(2) 设苗圃园的面积为 $ y $,求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式,并指明函数的类型；
(3) 当这个苗圃园的面积为 $ 42 \, m^{2} $ 时,求 $ x $ 的值。
解：

答案：
(1) 由题意，三边总长为 $20\ m$，设垂直于墙的一边长为 $x\ m$，则平行于墙的一边长为 $a = 20 - 2x$。
由于墙长为 $12\ m$，且 $a$ 需小于等于墙长且大于0，自变量 $x$ 的取值范围为 $4 \leq x ＜ 10$（考虑到$x$为长度，应大于0，且$a=20-2x＞0$，同时$a\leq12$，解得$x$的范围）。
综上，$a$ 与 $x$ 之间的函数关系式为：$a = 20 - 2x$；自变量 $x$ 的取值范围为$4 \le x ＜ 10$。
(2) 苗圃园的面积 $y$ 为长乘以宽，即 $y = x × a = x(20 - 2x) = -2x^2 + 20x$。
这是一元二次函数。
所以$y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为：$y = -2x^2 + 20x$；函数类型：一元二次函数。
(3) 当苗圃园的面积为 $42\ m^2$ 时，有 $-2x^2 + 20x = 42$。
整理得 $x^2 - 10x + 21 = 0$。
解得 $x = 3$（舍去，因为不在$x$的取值范围内）或 $x = 7$。
所以当这个苗圃园的面积为 $42\ m^2$ 时，$x$ 的值为 $7$。