《2025年人教金学典同步解析与测评九年级数学上册人教版重庆专版》

4.某抛物线形溶洞的截面如图22.3.2-7所示。现测得水面宽$AB = 1.6\ m$,溶洞顶点$O到水面的距离为2.4\ m$,则溶洞所在抛物线对应的函数解析式是$y = - \frac {15}{4}x^{2}$（或写为$y=-3.75x^{2}$）.

答案： $y = - \frac {15}{4}x^{2}$（或写为$y=-3.75x^{2}$）

5.一个抛物线形拱桥如图22.3.2-8所示。小明建立了如图22.3.2-9所示的两个不同的坐标系,则所求得的解析式分别为$y=\frac{3}{200}x^2-6$,$y=-\frac{3}{200}x^2+6$。



① ②

答案： $y=\frac{3}{200}x^2-6$，$y=-\frac{3}{200}x^2+6$

6.某车的刹车距离$y$(单位：$m$)与开始刹车时的速度$x$(单位：$m/s$)之间满足二次函数$y = \frac{1}{20}x^{2}(x ＞ 0)$。若该车某次的刹车距离为$5\ m$,则开始刹车时的速度为 10$m/s$。

答案： （此处应填数字而非选项，但按照要求格式）10

7.如图22.3.2-10,一条单向隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长为$8\ m$,宽为$2\ m$,隧道最高点$P的坐标为(4,6)$,如果一辆货车高$4\ m$,宽$3\ m$,那么这辆货车 (能)从该隧道内通过。

答案： 解：以抛物线顶点P(4,6)为顶点，设抛物线方程为$y=a(x-4)^2+6$。
∵抛物线过点A(0,2)（长方形左上角，长方形宽2m，长8m，故A(0,2)，B(8,2)），
代入A(0,2)得：$2=a(0-4)^2+6$，解得$a=-\frac{1}{4}$，
∴抛物线方程为$y=-\frac{1}{4}(x-4)^2+6$。
货车宽3m，当货车沿隧道中轴线行驶时，左右边缘横坐标为$4\pm1.5$，即$x=2.5$和$x=5.5$。
计算$x=2.5$时的高度：
$y=-\frac{1}{4}(2.5-4)^2+6=-\frac{1}{4}(-1.5)^2+6=-\frac{9}{16}+6=\frac{87}{16}=5.4375(m)$。
∵$5.4375m＞4m$，
∴货车能通过。
能

8.一座古拱桥的截面图(示意图)如图22.3.2-11①所示,拱桥桥洞上沿是抛物线形状,抛物线两端点与水面的距离都是$1\ m$,拱桥的跨度为$10\ m$,桥洞与水面的最大距离是$5\ m$,桥洞两侧壁上各有一盏距离水面$4\ m$的景观灯。若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中(如图22.3.2-11②所示的示意图)。

(1)求抛物线对应的函数解析式；
(2)求两盏景观灯之间的水平距离。

答案：
(1)设抛物线解析式为$y = ax^2 + c$，由题意知顶点坐标为$(0,5)$，则$c = 5$。抛物线过点$(5,1)$，代入得$1 = a \cdot 5^2 + 5$，解得$a = -\frac{4}{25}$，故解析式为$y = -\frac{4}{25}x^2 + 5$。
(2)令$y = 4$，则$4 = -\frac{4}{25}x^2 + 5$，解得$x^2 = \frac{25}{4}$，$x = \pm \frac{5}{2}$。两景观灯水平距离为$\frac{5}{2} - (-\frac{5}{2}) = 5\ m$。
(1)$y = -\frac{4}{25}x^2 + 5$；
(2)$5\ m$