《2025年人教金学典同步解析与测评九年级数学上册人教版重庆专版》

2. 把抛物线 $ y = 3x^2 $ 向右平移1个单位长度后,所得的抛物线对应的函数解析式为(B)
A.$ y = 3x^2 - 1 $
B.$ y = 3(x - 1)^2 $
C.$ y = 3x^2 + 1 $
D.$ y = 3(x + 1)^2 $

答案： B

3. 抛物线 $ y = 2(x - 1)^2 $ 上有三点 $ A(-1,y_1) $,$ B(\sqrt{2},y_2) $,$ C(2,y_3) $,则 $ y_1 $,$ y_2 $,$ y_3 $ 的大小关系是(D)
A.$ y_1 ＞ y_2 ＞ y_3 $
B.$ y_2 ＞ y_1 ＞ y_3 $
C.$ y_3 ＞ y_2 ＞ y_1 $
D.$ y_1 ＞ y_3 ＞ y_2 $

答案： D

4. 抛物线 $ y = -\frac{1}{3}x^2 + \frac{7}{3} $ 的顶点坐标是$(0,\frac{7}{3})$。

答案： $(0,\frac{7}{3})$

5. 请你写出函数 $ y = (x + 1)^2 $ 和 $ y = x^2 + 1 $ 具有的共同性质开口都向上，都有最小值。(至少2个)

答案： 开口都向上，都有最小值（答案不唯一）

6. 已知函数 $ y = (k^2 + k)(x - 2)^{k^2 - 2k - 1} $ 是二次函数,则 $ k = $3,图象开口向上,当 $ x $＞ 2时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大。

答案： $k = 3$，开口向上，$x ＞ 2$；
故答案为：3；向上；＞ 2（或“大于2”）。

7. 已知某抛物线与函数 $ y = \frac{3}{4}x^2 $ 的图象的开口方向及形状均相同,且与 $ x $ 轴的交点的横坐标分别是$-2$和2,与 $ y $ 轴的交点的纵坐标是$-3$,求该抛物线对应的函数解析式。

答案： 设抛物线对应的函数解析式为$y = a(x - x_1)(x - x_2)$（交点式），
已知抛物线与$x$轴的交点的横坐标分别是$-2$和$2$，则$x_1 = - 2$，$x_2 = 2$，
所以$y = a(x + 2)(x - 2)$。
因为抛物线与函数$y = \frac{3}{4}x^2$的图象的开口方向及形状均相同，
所以$a$的值相同或互为相反数（开口大小由$|a|$决定，开口方向由$a$的正负决定），
所以$a = \frac{3}{4}$，
则函数解析式可写为$y = \frac{3}{4}(x + 2)(x - 2)$。
又因为抛物线与$y$轴的交点的纵坐标是$- 3$，
当$x = 0$时，$y=\frac{3}{4}×(0 + 2)×(0 - 2)=-3$，符合题意。
将$y = \frac{3}{4}(x + 2)(x - 2)$展开得$y=\frac{3}{4}(x^{2}-4)=\frac{3}{4}x^{2}-3$。
综上，该抛物线对应的函数解析式为$y = \frac{3}{4}x^{2}-3$。

8. 已知抛物线 $ y = a(x - h)^2 $ 向左平移2个单位长度后,所得抛物线对应的函数解析式为 $ y = -2(x + 5)^2 $,求 $ a $,$ h $ 的值。

答案： 抛物线$y=a(x-h)^2$向左平移2个单位长度，根据平移规律“左加右减”，所得抛物线解析式为$y=a(x-h+2)^2$。
已知平移后抛物线为$y=-2(x+5)^2$，所以可得：
$a=-2$，
$x-h+2=x+5$，即$-h+2=5$，解得$h=2 - 5=-3$。
综上，$a=-2$，$h=-3$。

9. 如图22.1.3-1所示,已知二次函数的图象顶点坐标为$(2,0)$,直线 $ y = x + 1 $ 与二次函数的图象交于 $ A $,$ B $ 两点,其中点 $ A $ 在 $ y $ 轴上。求二次函数的解析式。

答案： 由二次函数的图象顶点坐标为$(2,0)$，设二次函数的解析式为$y = a(x - 2)^{2}$。
由直线$y = x + 1$与二次函数的图象交于$A$，$B$两点，其中点$A$在$y$轴上，
当$x = 0$时，$y = 0 + 1 = 1$，
所以$A(0,1)$，
把$A(0,1)$代入$y = a(x - 2)^{2}$，
得$4a = 1$，
解得$a = \frac{1}{4}$，
所以二次函数的解析式为$y =\frac{1}{4}(x - 2)^{2}$。