《2025年全效学习课时提优九年级数学全一册人教版精华版》

如图,CD是⊙O的弦,AB是直径,且CD⊥AB,垂足为P,求证：$PC^{2}= PA\cdot PB$.

答案： 连接AC、BC。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°。
∵CD⊥AB，
∴∠APC=∠CPB=90°。
∵∠ACP+∠BCP=90°，∠CBP+∠BCP=90°，
∴∠ACP=∠CBP。
∴△APC∽△CPB。
∴$\frac{PA}{PC}=\frac{PC}{PB}$。
∴$PC^{2}=PA\cdot PB$。

1. 如图,⊙O的直径AB交弦CD(不是直径)于点P,且$PC^{2}= PB\cdot PA$,求证：AB⊥CD.

答案： 证明：
∵AB、CD是⊙O的弦，且相交于点P，
∴由相交弦定理得：PA·PB=PC·PD。
∵PC²=PA·PB，
∴PC²=PC·PD。
∵PC≠0，
∴PC=PD，即P为CD中点。
∵AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦（不是直径），且AB平分CD，
∴由垂径定理推论得：AB⊥CD。

2. 如图,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,BC与过点A的切线EF平行,且与AD相交于点G.
(1)求证：AB= AC；
(2)若DG= BC= 16,求AB的长.

答案：
(1)略
(2)4√5

3. 如图,已知AC是⊙O的直径,直线PA与⊙O相切于点A,直线PD经过⊙O上的点B且∠CBD= ∠CAB,连接OP交AB于点M.
求证：
(1)PD是⊙O的切线；
(2)$AM^{2}= OM\cdot PM$.

答案：
(1)连接OB。
∵AC是⊙O直径，
∴∠ABC=90°（直径所对圆周角是直角）。
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA（等边对等角）。
∵∠CBD=∠CAB=∠OAB，
∴∠CBD=∠OBA。
∵∠ABC=∠OBA+∠OBC=90°，
∴∠CBD+∠OBC=90°，即∠OBD=90°。
∴OB⊥PD，又B在⊙O上，
∴PD是⊙O的切线。
(2)
∵PA、PD是⊙O切线，
∴OP垂直平分AB（切线长定理），
∴∠OMA=90°。
∵PA切⊙O于A，
∴PA⊥AC，∠PAC=90°，即∠PAM+∠OAM=90°。
在Rt△OAM中，∠AOM+∠OAM=90°，
∴∠AOM=∠PAM。
∵∠OMA=∠PMA=90°，
∴△OAM∽△PMA（AA）。
∴OM/AM=AM/PM，即AM²=OM·PM。

4. 如图,P为⊙O外一点,PA,PB为⊙O的切线,切点分别为A,B,直线PO交⊙O于点D,E,交AB于点C.
(1)求证：∠ADE= ∠PAE；
(2)若∠ADE= 30°,求证：AE= PE；
(3)若PE= 4,CD= 6,求CE的长.

答案：
(1)略
(2)略
(3)2