《2025年全效学习课时提优九年级数学全一册人教版精华版》

11. 已知函数 $ y= -x^{2}+bx+c $($ b,c $ 为常数)的图象经过点 $(0,-3),(-6,-3)$.
(1)求 $ b,c $ 的值；
(2)当 $-4\leqslant x\leqslant0$ 时,求 $ y $ 的最大值；
(3)当 $ m\leqslant x\leqslant0 $ 时,若 $ y $ 的最大值与最小值之和为 2,求 $ m $ 的值.

答案：
(1)$b=-6$,$c=-3$
(2)6
(3)$-2$或$-3-\sqrt{10}$

12. 16 世纪中叶,我国发明了一种新式火箭“火龙出水”,它是二级火箭的始祖. 火箭第一级运行路径形如抛物线,当火箭运行一定水平距离时,自动引发火箭第二级,火箭第二级沿直线运行. 某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程. 如图,以发射点为原点,地平线为 $ x $ 轴,垂直于地面的直线为 $ y $ 轴,建立平面直角坐标系,分别得到抛物线 $ y= ax^{2}+x $ 和直线 $ y= -\frac{1}{2}x+b $. 其中,当火箭运行的水平距离为 9 km 时,自动引发火箭的第二级.
(1)若火箭第二级的引发点的高度为 3.6 km,
①直接写出 $ a,b $ 的值；
②火箭在运行过程中,有两个位置的高度比火箭运行的最高点低 1.35 km,求这两个位置之间的距离；
(2)直接写出当 $ a $ 满足什么条件时,火箭落地点与发射点的水平距离超过 15 km.

答案：
(1)①$a=-\frac{1}{15}$,$b=8.1$ ②8.4 km
(2)$-\frac{2}{27}＜a＜0$

13. 设二次函数 $ y_{1}= ax^{2}-4x+c(a≠0,a,c $ 是常数)的图象与 $ x $ 轴有交点.
(1)若图象与 $ x $ 轴相交于 $ A(1,0),B(3,0) $ 两点,求函数 $ y_{1} $ 的解析式,并写出函数图象的顶点坐标；
(2)若图象与 $ x $ 轴只有一个交点,且过点 $(a,c)$,求此时 $ a,c $ 的值；
(3)已知 $ a= 1 $,若函数 $ y $ 的解析式还可以写成 $ y_{1}= (x-m)(x-n) $($ m,n $ 为常数,$ m≠n $ 且 $ mn= 2 $),设二次函数 $ y_{2}= -(x-m)(x-n) $,求 $ y_{1}-y_{2} $ 的最小值.

答案：
(1)$y_{1}=x^{2}-4x+3$.顶点坐标为$(2,-1)$
(2)$a=2$,$c=2$或$a=-2$,$c=-2$
(3)$-4$