《2025年全效学习课时提优九年级数学全一册人教版精华版》

9. 给出一种运算：对于函数$y= x^{n}$,规定$y'= nx^{n-1}$.例如：若函数$y= x^{4}$,则有$y'= 4x^{3}$.已知函数$y= x^{3}$,则方程$y'= 12$的根是 ( )

A.$x_{1}= 4,x_{2}= -4$
B.$x_{1}= 2\sqrt{3},x_{2}= -2\sqrt{3}$
C.$x_{1}= x_{2}= 0$
D.$x_{1}= 2,x_{2}= -2$

答案： D

10. 如果分式$\frac{x^{2}-9}{2x+6}$的值为零,那么$x$的值为______.

答案： 3

11. 已知关于$x的方程a(x+m)^{2}+b= 0的解是x_{1}= -2,x_{2}= 1$($a,m,b$均为常数,$a\neq0$),那么方程$a(2x+m+1)^{2}+b= 0$的解是______.

答案： $x_{1}=-\frac{3}{2}$,$x_{2}=0$

12. 用直接开平方法解下列方程：
(1)$8x^{2}= 2$；
(2)$3(2x+3)^{2}-75= 0$；
(3)$x^{2}-4x+4= 9$；
(4)$3x^{2}+7= 1$.

答案：
(1)$x_{1}=\frac{1}{2}$,$x_{2}=-\frac{1}{2}$；
(2)$x_{1}=-4$,$x_{2}=1$；
(3)$x_{1}=5$,$x_{2}=-1$；
(4)没有实数根

13. [创新意识]阅读材料：
我们把形如$x^{2}= a$(其中$a是常数且a\geq0$)这样的方程叫做$x$的完全平方方程.如$x^{2}= 9$,$(3x-2)^{2}= 25$,$\left(\frac{x+1}{3}-x\right)^{2}= 4$都是完全平方方程.那么如何求解完全平方方程呢？
探究思路：
我们可以利用“乘方运算”把一元二次方程转化为一元一次方程进行求解.如：解完全平方方程$x^{2}= 9的思路是由(+3)^{2}= 9,(-3)^{2}= 9可得x_{1}= 3,x_{2}= -3$.
解决问题：
(1)解方程：$(3x-2)^{2}= 25$；
解题思路：我们只要把$3x-2$看成一个整体,就可以利用乘方运算进一步求解方程了.
解：根据乘方运算,得$3x-2= 5或3x-2= $______.
解这两个一元一次方程,得$x_{1}= \frac{7}{3},x_{2}= $______.
(2)解方程：$\left(\frac{x+1}{3}-x\right)^{2}= 4$；
(3)解方程：$(3x+2)^{2}= (5x-6)^{2}$.

答案：
(1)-5 -1；
(2)$x_{1}=-\frac{5}{2}$,$x_{2}=\frac{7}{2}$；
(3)$x_{1}=4$,$x_{2}=\frac{1}{2}$