《2025年全效学习课时提优九年级数学全一册人教版精华版》

9. 如图,图中共有相似三角形( )

A.5对
B.4对
C.3对
D.2对
]

答案： B

10. 如图,在⊙O中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD.
(1)求证：△AEC∽△DEB；
(2)连接AD,若AD= 3,∠C= 30°,求⊙O的半径.
]

答案：
(1)略
(2)3

11. 如图,在梯形ABCD中,AD//BC,点F,E分别在线段BC,AC上,且∠FAC= ∠ADE,AC= AD.
(1)求证：AF= DE；
(2)若∠ABC= ∠CDE,求证：$AF^2= BF·CE.$
]

答案：
(1)
∵AD//BC，
∴∠ACB=∠CAD（两直线平行，内错角相等），即∠ACF=∠DAE。
在△AFC和△DEA中，
∠FAC=∠ADE（已知），
AC=DA（已知AC=AD），
∠ACF=∠DAE（已证），
∴△AFC≌△DEA（ASA），
∴AF=DE（全等三角形对应边相等）。
(2)
∵∠AFC+∠AFB=180°，∠DEA+∠DEC=180°（平角定义），
由
(1)△AFC≌△DEA得∠AFC=∠DEA，
∴∠AFB=∠DEC（等角的补角相等）。
在△ABF和△CDE中，
∠ABC=∠CDE（已知），
∠AFB=∠DEC（已证），
∴△ABF∽△CDE（AA），
∴AF/CE=BF/DE（相似三角形对应边成比例）。
∵AF=DE（
(1)结论），
∴AF/CE=BF/AF，
∴AF²=BF·CE。

12. 如图1,CA⊥AD,ED⊥AD,B是线段AD上的一点,且CB⊥BE.已知AB= 8,AC= 6,DE= 4.
(1)求证：△ABC∽△DEB；
(2)求线段BD的长；
(3)拓展：在综合与实践课上,老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.有一张矩形纸片ABCD如图2所示,点N在边AD上,现将矩形折叠,折痕为BN,点A对应的点记为点M.若点M恰好落在边DC上,则图中与△NDM相似的三角形是______.
]

答案：
(1)略
(2)BD=3
(3)△MCB

13. [推理能力]如图,AC是⊙O的直径,弦BD交AC于点E.
(1)求证：△ADE∽△BCE；
(2)如果$AD^2= AE·AC,$求证：CD= CB.
]

答案：
(1)证明：
∵∠AED=∠BEC（对顶角相等），∠DAE=∠CBE（同弧DC所对的圆周角相等），
∴△ADE∽△BCE（AA）。
(2)证明：
∵AD²=AE·AC，
∴AD/AE=AC/AD，又∠DAE=∠CAD（公共角），
∴△ADE∽△ACD（SAS），
∴∠ADE=∠ACD。由
(1)△ADE∽△BCE得∠ADE=∠BCE，
∴∠ACD=∠BCE。
∵AC是直径，
∴∠ADC=∠ABC=90°。在△ADC和△ABC中，∠ADC=∠ABC，∠ACD=∠ACB，AC=AC，
∴△ADC≌△ABC（AAS），
∴CD=CB。