《2025年全效学习课时提优九年级数学全一册人教版精华版》

一 切线的性质
【教材母题1】(教材P101 习题24.2 第5题)
如图,以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB是小圆的切线,P为切点.求证:AP= BP.

【思想方法】圆的切线垂直于过切点的半径,所以作过切点的半径得到垂直关系是常用的辅助线作法.
【变式1】(给出问题中图形的相关数据,改变为计算问题)
1. 如图,在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB与小圆相切,切点为P.若大圆的半径是5,AB= 8,则小圆的半径是______.

2. 如图,在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB切小圆于点C.若AB= 8,则圆环的面积是______.

【变式2】(把切线变成割线,改变结论)
3. 如图,已知在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C,D.
(1)求证:AC= BD；
(2)若大圆的半径为8,小圆的半径为6,且圆心O到直线AB的距离为4,求AC的长.

答案： 1.3 2.16π 3.
(1)略
(2)$4\sqrt {3}-2\sqrt {5}$

二 切线的判定
【教材母题2】(教材P101 习题24.2 第4题)
如图,直线AB经过⊙O上的点C,并且OA= OB,CA= CB.求证:直线AB是⊙O的切线.

【思想方法】证明某直线是圆的切线时,(1)如果该直线与已知圆有公共点,则可作出经过该点的半径,证明直线垂直于该半径,即“连半径,证垂直”；(2)如果不能确定该直线与已知圆有公共点,则可过圆心作直线的垂线,证明圆心到直线的距离等于半径,即“作垂直,证半径”.

答案： 证明：
连接$OC$。
$\because OA=OB$，$CA=CB$，
$\therefore OC\perp AB$（等腰三角形三线合一）。
$\because OC$是$\odot O$的半径，且$AB$经过半径$OC$的外端点$C$，
$\therefore AB$是$\odot O$的切线。

4. 如图1,在△ABC中,AC= BC,以BC为直径的⊙O交AB于点D.
(1)求证:D是AB的中点；
(2)如图2,过点D作DE⊥AC于点E,求证:DE是⊙O的切线.

答案：
(1) 证明：
连接$CD$。
因为$BC$是$\odot O$的直径，所以$\angle BDC = 90^{\circ}$，即$CD\perp AB$。
又因为$AC = BC$，在等腰$\triangle ABC$中，根据等腰三角形三线合一的性质，可知$D$是$AB$的中点。
(2) 证明：
连接$OD$。
因为$O$是$BC$的中点，$D$是$AB$的中点，所以$OD$是$\triangle ABC$的中位线。
根据三角形中位线的性质，可得$OD// AC$。
已知$DE\perp AC$，即$\angle AED = 90^{\circ}$。
因为$OD// AC$，所以$\angle ODE=\angle AED = 90^{\circ}$，即$OD\perp DE$。
又因为$OD$是$\odot O$的半径，所以$DE$是$\odot O$的切线。