《2025年全效学习课时提优九年级数学全一册人教版精华版》

12. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 2(k - 1)x + k^2 + 2 = 0$ 有实数根,则 $k$ 的取值范围是( )

A.$k ＞ -\frac{1}{2}$
B.$k ＜ -\frac{1}{2}$
C.$k \geq -\frac{1}{2}$
D.$k \leq -\frac{1}{2}$

答案： D

13. 已知关于 $x$ 的方程 $mx^2 + x - m + 1 = 0$,有以下结论：
① 当 $m = 0$ 时,方程只有一个实数根；
② 当 $m \neq 0$ 时,方程有两个不相等的实数根；
③ 无论 $m$ 取何值,$-1$ 都是方程的一个解。
其中正确的是 ______(填序号)。

答案： ①③

14. 当 $m$ 为何值时,关于 $x$ 的一元二次方程 $mx^2 - 2(2m + 1)x + 4m - 1 = 0$。
(1) 有两个相等的实数根；
(2) 有两个不相等的实数根；
(3) 无实数根。

答案：
(1)$ m=-\frac{1}{5} $
(2)$ m＞-\frac{1}{5} $且$ m≠0 $
(3)$ m＜-\frac{1}{5} $

15. 已知关于 $x$ 的方程 $kx^2 - (4k - 3)x + 3k - 3 = 0$。
(1) 求证：无论 $k$ 取何值,方程都有实根；
(2) 若 $x = -1$ 是该方程的一个根,求 $k$ 的值；
(3) 若方程的两个实根均为正整数,求整数 $k$ 的值。

答案：
(1)略
(2)$ \frac{3}{4} $
(3)$ k=-3 $或-1或3

16. 设一元二次方程 $x^2 + bx + c = 0$。在下面的四组条件中选择其中一组 $b$,$c$ 的值,使这个方程有两个不相等的实数根,并解这个方程。
① $b = 2$,$c = 1$；② $b = 3$,$c = 1$；③ $b = 3$,$c = -1$；④ $b = 2$,$c = 2$。

答案： 首先，我们知道一元二次方程的判别式为 $\Delta = b^2 - 4ac$。
要使方程有两个不相等的实数根，判别式 $\Delta$ 必须大于0。
① $b = 2$, $c = 1$
$\Delta = 2^2 - 4×1×1 = 4 - 4 = 0$
所以，这组值不满足条件，方程有两个相等的实数根。
② $b = 3$, $c = 1$
$\Delta = 3^2 - 4×1×1 = 9 - 4 = 5 ＞ 0$
所以，这组值满足条件。
解方程 $x^2 + 3x + 1 = 0$，
利用求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，我们得到：
$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}, \quad x_2 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$
③ $b = 3$, $c = -1$
$\Delta = 3^2 - 4×1×(-1) = 9 + 4 = 13 ＞ 0$
所以，这组值满足条件。
解方程 $x^2 + 3x - 1 = 0$，
利用求根公式，我们得到：
$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}, \quad x_2 = \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}$
④ $b = 2$, $c = 2$
$\Delta = 2^2 - 4×1×2 = 4 - 8 = -4 ＜ 0$
所以，这组值不满足条件，方程没有实数根。
综上所述，我们可以选择第②组或第③组$b$,$c$值。
当选择第②组值时，解为 $x_1 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}, x_2 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$；
当选择第③组值时，解为 $x_1 = \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}, x_2 = \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}$。

17. [创新意识]已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 2mx + m^2 - 1 = 0$。
(1) 判断方程的根的情况；
(2) 若 $\triangle ABC$ 为等腰三角形,$AB = 5$,另外两条边长分别是该方程的两个根,求 $\triangle ABC$ 的周长。

答案：
(1)有两个不相等的实数根
(2)13或17