《2025年全效学习课时提优九年级数学全一册人教版精华版》

11. 如图,在平面直角坐标系中,依次连接点A(1,0),B(0,2),C(2,3),D(3,1)形成图案①.
(1)求图案①的面积；
(2)将图案①绕原点O逆时针旋转90°得到图案②,画出图案②.

答案：
(1)5
(2)略

12. 如图1,在△ABC中,∠B= ∠BCA,D,E是BC边上的点,连接AD,AE,将△ADE沿直线AE折叠,点D与点F对应,连接CF,已知∠BAC= ∠DAF.
(1)求证：△ABD≌△ACF；
(2)求证：CA平分∠BCF；
(3)如图2,若∠B= 45°,BD= 8,CE= 6,求AB的长.

答案：
(1)略
(2)略
(3)$12\sqrt{2}$

13. 数学老师在课堂上给出了一个问题,让同学们探究. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,∠BAC= 30°,点D在直线BC上,将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE,过点E作EF//BC,交直线AB于点F.
【分析问题】
(1)当点D在线段BC上时,如图1,求证：BD+EF= AB；
某同学在思考这道题时,想利用AD= AE构造全等三角形,便尝试着在AB上截取AM= EF,连接DM,通过证明两个三角形全等,最终证出结论. 请按照该同学的思路写出完整的证明过程；
【探究问题】
(2)当点D在线段BC的延长线上时,如图2；当点D在线段CB的延长线上时,如图3. 请直接写出线段BD,EF,AB之间的数量关系；
【拓展思考】
(3)在(1)(2)的条件下,若AC= 6$\sqrt{3}$,CD= 2BD,则EF= ______.

答案：
(1)略
(2)$AB=BD-EF$.证明略
(3)10或18