《2025年全效学习课时提优九年级数学全一册人教版精华版》

一 巧作辅助线
【教材母题1】(教材P87思考)
圆内接四边形的四个角之间有什么关系？
【思想方法】通过添加辅助线来构造圆心角或圆周角是实现圆内角度转换的有效手段,尤其要注意构造直径所对的圆周角.

答案： 对角互补

【变式】(改变条件为内接三角形)
1. 如图,△ABC是⊙O的内接三角形,$AB= BC$,$\angle BAC= 30^\circ$,$AD$是直径.若$AD= 8$,则$AC$的长为 ( )


A.4
B.$4\sqrt{3}$
C.$\frac{8}{3}\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$

答案： B

二 圆周角定理与垂径定理的综合运用
【教材母题2】(教材P89习题24.1第5题)
如图,在⊙O中,$OA\perp BC$,$\angle AOB= 50^\circ$.求$\angle ADC$的度数.

【思想方法】垂径定理与圆周角定理的综合运用题一般是通过圆周角定理进行角度转换,再利用垂径定理求解.

答案： 25°

【变式1】(改变图形,变求角度为求弦长)
2. 如图,⊙O为锐角三角形ABC的外接圆,其半径为5.
(1)用尺规作图作出$\angle BAC$的平分线,并标出它与劣弧BC的交点E(保留作图痕迹,不写作法)；
(2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长.

答案：
(1)略
(2)$\sqrt{30}$

【变式2】(变为圆周角定理的推论的运用)
3. 如图,AB是⊙O的直径,弦$CD\perp AB$于点E,G是$\widehat{AC}$上任意一点,连接AD,AG,GD.
(1)求证：$\angle ADC= \angle AGD$；
(2)若$BE= 2$,$CD= 8$,求⊙O的半径.

答案：
(1)略
(2)5