《2025年全效学习课时提优九年级数学全一册人教版精华版》

10. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”,即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算,指出“割之弥细,所失弥少. 割之又割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失矣”. “割圆术”孕育了微积分思想,他用这种思想得到了圆周率$\pi$的近似值为 3.1416. 如图,$\odot O$的半径为 1,运用“割圆术”,以圆内接正六边形面积近似估计$\odot O$的面积,可得$\pi的近似值为\frac{3\sqrt{3}}{2}$,若用圆内接正十二边形作近似估计,可得$\pi$的近似值为 ( )

A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{2}$
C.3
D.$2\sqrt{3}$

答案： C

11. 如图,六边形$ABCDEF是\odot O$的内接正六边形,设正六边形$ABCDEF的面积为S_1$,$\triangle ACE的面积为S_2$,则$\frac{S_1}{S_2}= $______.

答案： 2

12. 如图 1 的马家窑彩陶纹样呈现的是三等分圆周,古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点,这种方法和下面三等分圆周的方法相通. 如图 2,已知$\odot O和圆上一点M$. 作法如下：①以点$M$为圆心,$OM$长为半径作弧,交$\odot O于A$,$B$两点；②延长$MO交\odot O于点C$,则点$A$,$B$,$C将\odot O$的圆周三等分.
(1)请你依据以上步骤,用不带刻度的直尺和圆规在图 2 中将$\odot O$的圆周三等分(保留作图痕迹,不写作法)；
(2)根据(1)画出的图形,连接$AB$,$AC$,$BC$,若$\odot O$的半径为 2 cm,则$\triangle ABC$的周长为______cm.

答案：
(1)略
(2)$6\sqrt{3}$

13. 如图,已知$\odot O和\odot O上的一点A$,请完成下列任务：
(1)作$\odot O的内接正六边形ABCDEF$(保留作图痕迹,不写作法)；
(2)连接$BF$,$CE$,判断四边形$BCEF$的形状,并加以证明.

答案：
(1)略
(2)四边形 BCEF 为矩形.证明略

14. [创新意识]李老师带领班级同学进行拓广探索,通过此次探索让同学们更深刻地了解$\pi$的意义.
(1)[定义]我们将正$n边形的周长L与正n边形对应的内切圆的周长C的比值称作这个正n$边形的“正圆度”$k_n$. 如图 1,正三角形的边长为 1,内切圆的半径为$\frac{\sqrt{3}}{6}$,因此$k_3= $______；
(2)[探索]如图 2,图 3,分别求出正方形和正六边形的“正圆度”$k_4$,$k_6$；
(3)[总结]随着$n$的增大,$k_n$具有怎样的规律？试通过计算,并结合圆周率的诞生,简要概括.

答案：
(1)$\frac{3\sqrt{3}}{\pi}$
(2)$k_4=\frac{4}{\pi}$,$k_6=\frac{2\sqrt{3}}{\pi}$
(3)略