《2025年学习质量监测九年级数学上册人教版》

10. 在平面直角坐标系中,$O$是坐标原点,$\odot O的半径为1$,则直线$y = x + 2和\odot O$的位置关系是相离.

答案： 相离

11. 如图,$\angle AOB = 30^{\circ}$,点$P在OA$上,$OP = 6$,以点$P$为圆心,下列$r值为半径作\odot P$. 直线$OB和\odot P$有怎样的位置关系？请说明你的理由.
(1) $r = \sqrt{3}$；(2) $r = 3$；(3) $r = 2\sqrt{3}$.

答案： 过点$P$作$PC \perp OB$，垂足为$C$。
在$Rt \triangle POC$中，$\angle AOB = 30°$，$OP = 6$，
根据直角三角形中$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，
所以$PC = \frac{1}{2} × OP = 3$。
(1) 当$r = \sqrt{3}$时：
因为$\sqrt{3} ＜ 3$，即$r ＜ PC$，
所以直线$OB$与$\odot P$相离。
(2)当$r = 3$时：
因为$3 = 3$，即$r = PC$，
所以直线$OB$与$\odot P$相切。
(3)当$r = 2\sqrt{3}$时：
因为$2\sqrt{3} \approx 3.464$，$3.464 ＞ 3$，即$r ＞ PC$，
所以直线$OB$与$\odot P$相交。

12. 如图,在平面直角坐标系中,$P是直线y = - 2x + 4$上一动点,以$3为半径作\odot P$.
(1) 当$\odot P和x$轴相切时,求点$P$的坐标；
(2) 当$\odot P和y$轴相切时,求点$P$的坐标.

答案：
(1) 设点$P$的坐标为$(x, -2x + 4)$。
由于$\odot P$与$x$轴相切，所以点$P$到$x$轴的距离等于圆的半径，即$| - 2x + 4| = 3$。
解这个方程，得到：
$-2x + 4 = 3 \quad 或 \quad -2x + 4 = -3$，
解得：
$x = \frac{1}{2} \quad 或 \quad x = \frac{7}{2}$，
当$x = \frac{1}{2}$时，$y = -2 × \frac{1}{2} + 4 = 3$；
当$x = \frac{7}{2}$时，$y = -2 × \frac{7}{2} + 4 = -3$。
所以，点$P$的坐标为$(\frac{1}{2}, 3)$或$(\frac{7}{2}, -3)$。
(2) 同样设点$P$的坐标为$(x, -2x + 4)$。
由于$\odot P$与$y$轴相切，所以点$P$到$y$轴的距离等于圆的半径，即$|x| = 3$。
解这个方程，得到：
$x = 3 \quad 或 \quad x = -3$，
当$x = 3$时，$y = -2 × 3 + 4 = -2$；
当$x = -3$时，$y = -2 × (-3) + 4 = 10$。
所以，点$P$的坐标为$(3, -2)$或$(-3, 10)$。

1. 在平面直角坐标系中,以点$(3, - 4)$为圆心,$r为半径的圆与坐标轴有且只有3$个公共点,则$r$的值是(D).
A.$3$
B.$4$
C.$3或4$
D.$4或5$

答案： D

2. 在平面直角坐标系中,以点$P(3, - 2)$为圆心,$1为半径作\odot P$. 若把$\odot P沿y轴方向向上平移k$个单位长度,使$\odot P和x$轴相切,则$k$的值是(B).
A.$1或2$
B.$1或3$
C.$2或3$
D.$2或4$

答案： B