《2025年学习质量监测九年级数学上册人教版》

1. (2023,重庆,8)如图,$ AC $ 是 $ \odot O $ 的切线,$ B $ 为切点,连接 $ OA $,$ OC $.若 $ \angle A = 30° $,$ AB = 2\sqrt{3} $,$ BC = 3 $,则 $ OC $ 的长度是(C).

A.3
B.$ 2\sqrt{3} $
C.$ \sqrt{13} $
D.6
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答案： C

2. (2024,福建,7)如图,已知点 $ A $,$ B $ 在 $ \odot O $ 上,$ \angle AOB = 72° $,直线 $ MN $ 与 $ \odot O $ 相切,切点为 $ C $,且 $ C $ 为 $ \overset{\frown}{AB} $ 的中点,则 $ \angle ACM $ 等于(A).

A.$ 18° $
B.$ 30° $
C.$ 36° $
D.$ 72° $
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答案： A

3. 如图,$ AB $,$ CD $ 是 $ \odot O $ 的切线,$ B $,$ D $ 为切点,$ AB = 2 $,$ CD = 4 $,$ AC = 10 $.若 $ \angle A + \angle C = 90° $,则 $ \odot O $ 的半径是2√2.
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答案： 2√2

4. 如图,已知 $ \odot O $ 的半径为 4,点 $ O $ 到直线 $ AB $ 的距离为 5,$ P $ 是直线 $ AB $ 上的一个动点,$ PC $ 切 $ \odot O $ 于点 $ C $,则 $ PC $ 长的最小值是3.
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答案： 3

5. 如图,$ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径,$ PA $ 切 $ \odot O $ 于点 $ A $,$ OP $ 交 $ \odot O $ 于点 $ C $,连接 $ BC $,$ \angle P = 30° $.
求证：$ BC = PA $.
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答案： 证明：
∵PA切⊙O于点A，
∴OA⊥PA（切线垂直于过切点的半径），即∠OAP=90°。
在Rt△OAP中，∠P=30°，
∴∠AOP=60°，OA=1/2 OP（直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半）。
设OA=r（⊙O半径），则OP=2r，
由勾股定理得：PA=√(OP²-OA²)=√[(2r)²-r²]=√3 r。
∵AB是⊙O直径，
∴AB=2r，∠AOB=180°。
∵OP交⊙O于点C，
∴OC=OA=r（半径），∠AOC=∠AOP=60°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=180°-60°=120°。
∵OB=OC=r（半径），
∴△OBC是等腰三角形，
过O作OD⊥BC于D，由三线合一得：BD=DC，∠BOD=1/2∠BOC=60°。
在Rt△OBD中，∠OBD=30°（∠OBC=30°），
∴OD=1/2 OB=r/2，
由勾股定理得：BD=√(OB²-OD²)=√[r²-(r/2)²]=√3 r/2，
∴BC=2BD=2×(√3 r/2)=√3 r。
∵PA=√3 r，BC=√3 r，
∴BC=PA。