《2025年学习质量监测九年级数学上册人教版》

3. 已知点$P到\odot O上的点的最短距离为3\ cm$,最长距离为$5\ cm$,则$\odot O$的半径为4或1$cm$.

答案： 4或1

4. 下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
已知：在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,求作$Rt\triangle ABC$的外接圆.
作法：(1)分别以点$A和点B$为圆心,以大于$\dfrac{1}{2}AB$的长为半径作弧,两弧相交于$P$,$Q$两点；
(2)作直线$PQ$,交$AB于点O$；
(3)以点$O$为圆心,以$OA为半径作\odot O$. $\odot O$即为所求作的圆.
请回答：该尺规作图的依据是到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；圆的定义。.

答案： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；圆的定义。

5. 如图,在平面直角坐标系中,$A(0,4)$,$B(4,4)$,$C(6,2)$.
(1)在图中画出经过$A$,$B$,$C三点的圆弧所在圆的圆心M$；
(2)求点$M$的坐标.

答案：
(2)$(2,0)$

6. 在平面直角坐标系中,直线$y = 2x - 1上是否存在一点P$,使得以点$P为圆心的\odot P经过点A(-4,1)和B(2,1)$？若存在,求出点$P的坐标和\odot P$的半径；若不存在,请说明理由.

答案： 存在。
1. 求AB中点：A(-4,1)，B(2,1)，中点坐标为$(\frac{-4+2}{2},\frac{1+1}{2})=(-1,1)$。
2. 求AB垂直平分线：AB为水平线段，垂直平分线为过中点的竖直线$x=-1$。
3. 求P点坐标：P在直线$y=2x-1$和$x=-1$上，将$x=-1$代入$y=2x-1$，得$y=2×(-1)-1=-3$，故$P(-1,-3)$。
4. 求半径：$PA=\sqrt{(-1+4)^2+(-3-1)^2}=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5$，$PB=PA=5$。
点P坐标为$(-1,-3)$，半径为5。

7. (2024,安徽,20)如图,$\odot O是\triangle ABC$的外接圆,$D是直径AB$上一点,$\angle ACD的平分线交AB于点E$,交$\odot O于另一点F$,$FA = FE$.
(1)求证：$CD \perp AB$；
(2)设$FM \perp AB$,垂足为$M$,若$OM = OE = 1$,求$AC$的长.

答案：
(1) 见证明；
(2) $4\sqrt{2}$。