《2025年学习质量监测九年级数学上册人教版》

11. 已知抛物线$y = ax^{2}+bx + c$满足以下条件,求对应的函数解析式。
(1)图象过$(0,1)$,$(-1,1)和(1,-1)$三点；
(2)当$x = 3$时函数有最小值5,且过点$(1,11)$；
(3)函数图象与$x轴交于点(1,0)$,$(-3,0)$,与$y轴交于点(0,6)$；
(4)图象过点$(1,0)$,$(0,-3)$,且对称轴为直线$x = 2$。

答案：
(1)将$(0,1)$，$( - 1,1)$，$(1, - 1)$分别代入$y = ax^{2} + bx + c$，得：
$\begin{cases}c = 1 \\a - b + c = 1 \\a + b + c = - 1\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}a = - 1 \\b = - 1 \\c = 1\end{cases}$
所以函数解析式为$y = - x^{2} - x + 1$。
(2)设抛物线解析式为$y = a(x - 3)^{2} + 5$，把$(1,11)$代入得：
$11 = a(1 - 3)^{2} + 5$
$11 = 4a + 5$
解得$a = \frac{3}{2}$。
所以$y = \frac{3}{2}(x - 3)^{2} + 5 = \frac{3}{2}x^{2} - 9x + \frac{37}{2}$。
(3)因为函数图象与$x$轴交于点$(1,0)$，$( - 3,0)$，所以设抛物线解析式为$y = a(x - 1)(x + 3)$，把$(0,6)$代入得：
$6 = a(0 - 1)(0 + 3)$
$6 = - 3a$
解得$a = - 2$。
所以$y = - 2(x - 1)(x + 3) = - 2x^{2} - 4x + 6$。
(4)设抛物线解析式为$y = ax^{2} + bx + c$，由题意得：
$\begin{cases}a + b + c = 0 \\c = - 3 \\- \frac{b}{2a} = 2\end{cases}$
由$- \frac{b}{2a} = 2$得$b = - 4a$，代入$a + b + c = 0$得：
$a - 4a - 3 = 0$
$-3a = 3$
解得$a = - 1$，则$b = - 4×(-1)=4$。
所以$y = - x^{2} + 4x - 3$。

12. 已知二次函数$y = -x^{2}+4x + 3$。
(1)求该函数图象的顶点坐标；
(2)当$-1\leqslant x\leqslant 3$时,求$y$的取值范围。

答案：
(1) 对于二次函数 $y = ax^{2} + bx + c$，其顶点坐标为 $(- \frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^{2}}{4a})$。
对于函数 $y = -x^{2} + 4x + 3$，其中 $a = -1, b = 4, c = 3$。
顶点横坐标 $x = - \frac{b}{2a} = - \frac{4}{2 × (-1)} = 2$。
顶点纵坐标 $y = \frac{4ac - b^{2}}{4a} = \frac{4 × (-1) × 3 - 4^{2}}{4 × (-1)} = \frac{-12 - 16}{-4} = 7$。
所以顶点坐标为 $(2, 7)$。
(2) 由
(1)知函数顶点为 $(2, 7)$，即当 $x = 2$ 时，$y$ 取得最大值 $7$。
计算端点值：
当 $x = -1$ 时，$y = -(-1)^{2} + 4 × (-1) + 3 = -1 - 4 + 3 = -2$。
当 $x = 3$ 时，$y = -(3)^{2} + 4 × 3 + 3 = -9 + 12 + 3 = 6$。
在区间 $[-1, 3]$ 上，$y$ 的最小值为 $-2$，最大值为 $7$。
所以 $y$ 的取值范围是 $[-2, 7]$。

1. (2024,陕西,8)已知一个二次函数$y = ax^{2}+bx + c的自变量x与函数值y$的几组对应值如下表：
| $x$ | …$$ | $-4$ | $-2$ | $0$ | $3$ | $5$ | …$$ |
| $y$ | …$$ | $-24$ | $-8$ | $0$ | $-3$ | $-15$ | …$$ |
则下列关于这个二次函数的结论正确的是(D)。
A.图象的开口向上
B.当$x ＞ 0$时,$y的值随x$值的增大而增大
C.图象经过第二、三、四象限
D.图象的对称轴是直线$x = 1$

答案： D

2. (2024,贵州,12)如图,二次函数$y = ax^{2}+bx + c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是-3$,顶点坐标为$(-1,4)$,则下列说法正确的是(D)。

A.二次函数图象的对称轴是直线$x = 1$
B.二次函数图象与$x$轴的另一个交点的横坐标是2
C.当$x ＜ -1$时,$y随x$的增大而减小
D.二次函数图象与$y$轴的交点的纵坐标是3
]

答案： D