《2025年学习质量监测九年级数学上册人教版》

12. 如图, 在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AB = 6$, 将$\triangle ABC绕点C顺时针旋转60^{\circ}得到\triangle A_1B_1C$, 点$B的对应点B_1恰好落在AB$上.
(1) 求$\angle A_1AB_1$的度数;
(2) 求四边形$A_1AB_1C$的面积.

答案：
(1) 由旋转性质得：$CB=CB_1$，$\angle BCB_1=60°$，故$\triangle CBB_1$为等边三角形，$\angle CBA=60°$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90°$，$\therefore \angle CAB=90°-60°=30°$。
又旋转得$CA=CA_1$，$\angle ACA_1=60°$，故$\triangle ACA_1$为等边三角形，$\angle CAA_1=60°$。
$\therefore \angle A_1AB_1=\angle CAB+\angle CAA_1=30°+60°=90°$。
(2) 在$Rt\triangle ABC$中，$AB=6$，$\angle CAB=30°$，$\therefore BC=3$，$AC=3\sqrt{3}$。
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×3×3\sqrt{3}=\frac{9\sqrt{3}}{2}$。
$\triangle ACA_1$为等边三角形，$S_{\triangle ACA_1}=\frac{\sqrt{3}}{4}×(3\sqrt{3})^2=\frac{27\sqrt{3}}{4}$。
$B_1$为$AB$中点，$AB_1=3$，$S_{\triangle AB_1C}=\frac{1}{2}×3×3\sqrt{3}×\sin30°=\frac{9\sqrt{3}}{4}$。
四边形$A_1AB_1C$面积$=S_{\triangle ACA_1}+S_{\triangle AB_1C}=\frac{27\sqrt{3}}{4}+\frac{9\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}$。
(1) $90°$
(2) $9\sqrt{3}$

1. (2022, 益阳, 10) 如图, 在$\triangle ABC$中,$\angle CAB = 20^{\circ}$,$\angle ABC = 30^{\circ}$, 将$\triangle ABC绕点A逆时针旋转50^{\circ}得到\triangle AB'C'$, 以下结论: ①$BC = B'C'$; ②$AC // C'B'$; ③$C'B' \perp BB'$; ④$\angle ABB' = \angle ACC'$, 正确的有(B).

A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④

答案： B

2. (2023, 海南, 11) 如图, 在平面直角坐标系中, 点$A在y$轴上, 点$B的坐标为(6, 0)$, 将$\triangle ABO绕着点B顺时针旋转60^{\circ}得到\triangle DBC$, 则点$C$的坐标是(B).

A.$(3\sqrt{3}, 3)$
B.$(3, 3\sqrt{3})$
C.$(6, 3)$
D.$(3, 6)$

答案： B

3. (2023, 兰州, 15) 如图, 将面积为$7的正方形OABC和面积为9的正方形ODEF分别绕原点O$顺时针旋转, 使$OA$,$OD$落在数轴上, 点$A$,$D在数轴上对应的数分别为a$,$b$, 则$b - a = $$3 - \sqrt{7}$.

答案： 1. 首先，根据正方形面积公式$S = x^{2}$（$x$为正方形边长）：
对于正方形$OABC$，已知$S_{OABC}=7$，由$S = OA^{2}$（设$OA$为正方形$OABC$的边长），根据$S = x^{2}$，可得$OA=\sqrt{7}$，因为点$A$在数轴正半轴，所以$a = \sqrt{7}$。
对于正方形$ODEF$，已知$S_{ODEF}=9$，由$S = OD^{2}$（设$OD$为正方形$ODEF$的边长），根据$S = x^{2}$，可得$OD = 3$，因为点$D$在数轴正半轴，所以$b = 3$。
2. 然后，计算$b - a$的值：
把$a=\sqrt{7}$，$b = 3$代入$b - a$，得$b - a=3-\sqrt{7}$。
故答案为$3 - \sqrt{7}$。

4. 如图, 正方形$ABCD和正方形OEGF的边长均为4$,$O是正方形ABCD$的对角线的交点, 若正方形$OEGF绕点O$顺时针旋转, 则得到的重叠部分的图形面积等于4.

答案： 4