《2025年学习质量监测九年级数学上册人教版》

6. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle B = 90° $,$ AB = 12 mm $,$ BC = 24 mm $,动点 $ P $ 从点 $ A $ 开始沿边 $ AB $ 向点 $ B $ 以 2 mm/s 的速度移动(不与点 $ B $ 重合),动点 $ Q $ 从点 $ B $ 开始沿边 $ BC $ 向点 $ C $ 以 4 mm/s 的速度移动(不与点 $ C $ 重合). 如果点 $ P $,$ Q $ 分别从点 $ A $,$ B $ 同时出发,那么第几秒时,四边形 $ APQC $ 的面积最小？面积的最小值是多少？

答案： 设运动时间为$ t $秒。
1. 计算$\triangle ABC$的面积：
$\because \angle B=90°$，$AB=12\,mm$，$BC=24\,mm$，
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AB × BC=\frac{1}{2}×12×24=144\,mm^2$。
2. 表示相关线段长度：
由题意，$AP=2t\,mm$，$BQ=4t\,mm$，
$\therefore PB=AB-AP=12-2t\,mm$（$0＜t＜6$，因$P$不与$B$重合，$Q$不与$C$重合）。
3. 计算$\triangle PBQ$的面积：
$\because \angle B=90°$，
$\therefore S_{\triangle PBQ}=\frac{1}{2}× PB × BQ=\frac{1}{2}×(12-2t)×4t=24t-4t^2$。
4. 表示四边形$APQC$的面积：
$S_{APQC}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle PBQ}=144-(24t-4t^2)=4t^2-24t+144$。
5. 求二次函数的最小值：
$S_{APQC}=4t^2-24t+144$（$0＜t＜6$），
二次函数$a=4＞0$，开口向上，对称轴为$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{-24}{2×4}=3$。
当$t=3$时，$S_{APQC}$最小，
最小值为$4×3^2-24×3+144=36-72+144=108\,mm^2$。
结论：第$3$秒时，四边形$APQC$的面积最小，最小值为$108\,mm^2$。
$\boxed{3}$秒，最小值$\boxed{108}\,mm^2$

7. (2024,江西,22)如图,一小球从斜坡点 $ O $ 以一定的方向弹出,球的飞行路线可以用二次函数 $ y = ax^2 + bx(a ＜ 0) $ 刻画,斜坡可以用一次函数 $ y = \frac{1}{4}x $ 刻画,小球飞行的水平距离 $ x $(米)与小球飞行的高度 $ y $(米)的变化规律如下表：
| $ x $ | 0 | 1 | 2 | $ m $ | 4 | 5 | 6 | 7 | … |
| $ y $ | 0 | $ \frac{7}{2} $ | 6 | $ \frac{15}{2} $ | 8 | $ \frac{15}{2} $ | $ n $ | $ \frac{7}{2} $ | … |

(1)① $ m = $3,$ n = $6；

② 小球的落点是 $ A $,求点 $ A $ 的坐标.
②将$x=1,y=\frac{7}{2}$和$x=2,y=6$代入$y=ax^2+bx$，得$\begin{cases}a + b=\frac{7}{2}\\4a + 2b=6\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2}\\b = 4\end{cases}$，$\therefore y=-\frac{1}{2}x^2+4x$。联立$\begin{cases}y=-\frac{1}{2}x^2 + 4x\\y=\frac{1}{4}x\end{cases}$，得$-\frac{1}{2}x^2 + 4x=\frac{1}{4}x$，$x(2x - 15)=0$，$x=0$（舍）或$x=\frac{15}{2}$，$y=\frac{15}{8}$，$\therefore A(\frac{15}{2},\frac{15}{8})$。
(2)小球飞行高度 $ y $(米)与飞行时间 $ t $(秒)满足关系 $ y = -5t^2 + vt $.
① 小球飞行的最大高度为8米；
② 求 $ v $ 的值.
②$y=-5t^2+vt$对称轴$t=\frac{v}{10}$，最大高度$y=-5(\frac{v}{10})^2 + v\cdot\frac{v}{10}=\frac{v^2}{20}=8$，$v^2=160$，$v = 4\sqrt{10}$。

答案：
(1)①3；6
②将$x=1,y=\frac{7}{2}$和$x=2,y=6$代入$y=ax^2+bx$，得$\begin{cases}a + b=\frac{7}{2}\\4a + 2b=6\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2}\\b = 4\end{cases}$，$\therefore y=-\frac{1}{2}x^2+4x$。联立$\begin{cases}y=-\frac{1}{2}x^2 + 4x\\y=\frac{1}{4}x\end{cases}$，得$-\frac{1}{2}x^2 + 4x=\frac{1}{4}x$，$x(2x - 15)=0$，$x=0$（舍）或$x=\frac{15}{2}$，$y=\frac{15}{8}$，$\therefore A(\frac{15}{2},\frac{15}{8})$。
(2)①8
②$y=-5t^2+vt$对称轴$t=\frac{v}{10}$，最大高度$y=-5(\frac{v}{10})^2 + v\cdot\frac{v}{10}=\frac{v^2}{20}=8$，$v^2=160$，$v = 4\sqrt{10}$。