《2025年学习质量监测九年级数学上册人教版》

10. (2024,长春,11) 若抛物线 $ y = x^{2} - x + c $($ c $ 是常数)与 $ x $ 轴没有交点,则 $ c $ 的取值范围是$c ＞ \frac{1}{4}$.

答案： $c ＞ \frac{1}{4}$

11. 二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象如图所示,根据图象回答下列问题.
(1) 写出方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 的两个根；
(2) 写出不等式 $ ax^{2} + bx + c ＜ 0 $ 的解集；
(3) 若方程 $ ax^{2} + bx + c = k $ 有两个不相等的实数根,求 $ k $ 的取值范围.
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答案：
(1) $x_{1}=1$，$x_{2}=3$；
(2) $x＜1$ 或 $x＞3$；
(3) $k＜2$。

12. 已知二次函数 $ y = x^{2} - 2mx + m^{2} + 3 $($ m $ 是常数).
(1) 该函数图象与 $ x $ 轴有公共点吗？
(2) 把该函数图象沿平行于 $ y $ 轴的方向怎样平移,得到的图象与 $ x $ 轴只有一个公共点？

答案：
(1) 对于二次函数 $y = x^{2} - 2mx + m^{2} + 3$，
判别式 $\Delta = (-2m)^{2} - 4 × 1 × (m^{2} + 3) = 4m^{2} - 4m^{2} - 12 = -12 ＜ 0$。
由于 $\Delta ＜ 0$，所以该函数图象与 $x$ 轴没有公共点。
(2) 原函数可以写为 $y = (x - m)^{2} + 3$，
这是一个开口向上的抛物线，其顶点为 $(m, 3)$。
要使平移后的图象与 $x$ 轴只有一个公共点，即顶点的 $y$ 坐标为0，
因此需要将图象向下平移3个单位。
所以，把该函数图象沿平行于 $y$ 轴的方向向下平移3个单位后，得到的图象与 $x$ 轴只有一个公共点。

1. (2024,达州,9) 抛物线 $ y = -x^{2} + bx + c $ 与 $ x $ 轴交于两点,其中一个交点的横坐标大于 $ 1 $,另一个交点的横坐标小于 $ 1 $,则下列结论正确的是(A).
A.$ b + c ＞ 1 $
B.$ b = 2 $
C.$ b^{2} + 4c ＜ 0 $
D.$ c ＜ 0 $

答案： A

2. (2022,天津,12) 已知抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $($ a $,$ b $,$ c $ 是常数,$ 0 ＜ a ＜ c $)经过点 $ (1,0) $,有下列结论：
① $ 2a + b ＜ 0 $；
② 当 $ x ＞ 1 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；
③ 关于 $ x $ 的方程 $ ax^{2} + bx + (b + c) = 0 $ 有两个不相等的实数根.
其中,正确结论的个数是(C).
A.$ 0 $
B.$ 1 $
C.$ 2 $
D.$ 3 $

答案： C

3. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 3 $ 的一个根为 $ 2 $,且二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象的对称轴是直线 $ x = 2 $,则该图象的顶点坐标为$(2,3)$.

答案： $(2,3)$

4. 已知抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 开口向下,$ ab ＜ 0 $,方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 有两个不相等的实数根,则抛物线的顶点在第一象限.

答案： 一