《2025年学习质量监测九年级数学上册人教版》

10. 如图,正六边形 ABCDEF 的边长为 2,连接 AC,则 AC 的长为2√3.
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答案： 2√3

11. 如图,$\odot O的周长等于8\pi cm$,正六边形 ABCDEF 内接于$\odot O$.
(1)求圆心$O$到 AF 的距离;
(2)求正六边形 ABCDEF 的面积.
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答案：
(1)
过$O$作$OH\perp AF$于$H$。
因为$\odot O$的周长为$8\pi cm$，根据圆的周长公式$C = 2\pi r$，可得$2\pi r=8\pi$，解得$r = 4cm$，即$\odot O$的半径为$4cm$。
由于正六边形$ABCDEF$内接于$\odot O$，所以$\triangle AOF$是等边三角形，$\angle OAF = 60^{\circ}$。
在$Rt\triangle AOH$中，$\angle AOH = 30^{\circ}$，$OA = 4cm$，则$AH = 2cm$。
根据勾股定理$OH=\sqrt{OA^{2}-AH^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}} = 2\sqrt{3}cm$。
(2)
连接$OA$，$OF$，$OB$等。
正六边形可以分成六个与$\triangle AOF$全等的等边三角形。
$\triangle AOF$中，$AF = OA = 4cm$，$OH = 2\sqrt{3}cm$，$S_{\triangle AOF}=\frac{1}{2}× AF× OH=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}cm^{2}$。
所以$S_{正六边形ABCDEF}=6S_{\triangle AOF}=6×4\sqrt{3}=24\sqrt{3}cm^{2}$。
综上，
(1)圆心$O$到$AF$的距离为$2\sqrt{3}cm$；
(2)正六边形$ABCDEF$的面积为$24\sqrt{3}cm^{2}$。

12. (1)在图①中画出$\odot O_1$的内接正六边形;
(2)在图②中画出$\odot O_2$的内接正八边形.
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答案：

1. 如图,在同一个圆中作圆的内接正三角形 ABC 和正八边形 DEFGHIBK.连接 AD,则$\angle ADE$的度数是(A).

A.$7.5^{\circ}$
B.$15^{\circ}$
C.$20^{\circ}$
D.$30^{\circ}$
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答案： A

2. 如图,AB 是$\odot O$的弦,点 C 在$\overset{\frown}{AB}$上,$\angle AOB = 60^{\circ}$,$\angle AOC = 36^{\circ}$,下列结论:
①弦 AB 的长等于$\odot O$内接正六边形的边长;
②弦 AC 的长等于$\odot O$内接正十边形的边长;
③弦 BC 的长等于$\odot O$内接正十五边形的边长.
其中正确的是(D).

A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
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答案： D

3. (2023,连云港,14)以正六边形 ABCDEF 的顶点 C 为旋转中心,按顺时针方向旋转,使得新正六边形$A'B'C'D'E'F'的顶点D'$落在直线 BC 上,则正六边形 ABCDEF 至少旋转60度.
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答案： 60