《2025年学习质量监测九年级数学上册人教版》

5. 如图,$ PA $,$ PB $ 分别与 $ \odot O $ 相切于点 $ A $,$ B $,$ OC // PA $,交 $ PB $ 于点 $ C $。
(1)求证：$ OC = PC $；
(2)若 $ \odot O $ 的半径 $ r = 3 $,$ PA = 9 $,求 $ OC $ 的长。
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答案：
(1) 见解析；
(2) 5。

6. 如图,$ AB $ 为 $ \odot O $ 的直径,过圆上一点 $ D $ 作 $ \odot O $ 的切线 $ CD $,交 $ BA $ 的延长线于点 $ C $,过点 $ O $ 作 $ OE // AD $ 交 $ CD $ 于点 $ E $,连接 $ BE $。
(1)直线 $ BE $ 与 $ \odot O $ 相切吗？并说明理由。
(2)若 $ CA = 2 $,$ CD = 4 $,求 $ DE $ 的长。
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答案：
(1) 相切；
(2) 6。

7. (2024,自贡,22)在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90° $,$ \odot O $ 是 $ \triangle ABC $ 的内切圆,切点分别为 $ D $,$ E $,$ F $。
(1)图①中三组相等的线段分别是 $ CE = CF $,$ AF = $AD,$ BD = $BE；若 $ AC = 3 $,$ BC = 4 $,则 $ \odot O $ 的半径长为1；
(2)如图 2,延长 $ AC $ 到点 $ M $,使 $ AM = AB $,过点 $ M $ 作 $ MN \perp AB $ 于点 $ N $。求证：$ MN $ 是 $ \odot O $ 的切线。
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证明：设⊙O半径为r，切点F在AC上，D在AB上，E在BC上，由切线长定理得AF=AD，CF=CE=r，BE=BD。
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=5，r=(3+4-5)/2=1，AF=AD=AC-CF=3-1=2。
∵AM=AB=5，∠ANM=∠ACB=90°，∠MAN=∠BAC，∴△AMN≌△ABC(AAS)，∴AN=AC=3。
∴DN=AN-AD=3-2=1。
∵OD⊥AB，MN⊥AB，∴OD//MN，过O作OH⊥MN于H，则四边形ODNH为矩形，∴OH=DN=1=r，故MN是⊙O的切线。

答案：
(1)AD；BE；1
(2)证明：设⊙O半径为r，切点F在AC上，D在AB上，E在BC上，由切线长定理得AF=AD，CF=CE=r，BE=BD。
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5，r=(3+4-5)/2=1，AF=AD=AC-CF=3-1=2。
∵AM=AB=5，∠ANM=∠ACB=90°，∠MAN=∠BAC，
∴△AMN≌△ABC(AAS)，
∴AN=AC=3。
∴DN=AN-AD=3-2=1。
∵OD⊥AB，MN⊥AB，
∴OD//MN，过O作OH⊥MN于H，则四边形ODNH为矩形，
∴OH=DN=1=r，故MN是⊙O的切线。