《2025年学习质量监测九年级数学上册人教版》

12. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-3x - k = 0$,求当 $k$ 为何值时满足下列条件：
(1) 方程有两个不相等的实数根；
(2) 方程有两个相等的实数根；
(3) 方程没有实数根.

答案： 对于一元二次方程 $x^{2} - 3x - k = 0$，其判别式为 $\Delta = b^{2} - 4ac$，其中 $a = 1, b = -3, c = -k$。
(1) 方程有两个不相等的实数根：
$\Delta ＞ 0$
$\Rightarrow (-3)^{2} - 4 × 1 × (-k) ＞ 0$
$\Rightarrow 9 + 4k ＞ 0$
$\Rightarrow k ＞ -\frac{9}{4}$
(2) 方程有两个相等的实数根：
$\Delta = 0$
$\Rightarrow (-3)^{2} - 4 × 1 × (-k) = 0$
$\Rightarrow 9 + 4k = 0$
$\Rightarrow k = -\frac{9}{4}$
(3) 方程没有实数根：
$\Delta ＜ 0$
$\Rightarrow (-3)^{2} - 4 × 1 × (-k) ＜ 0$
$\Rightarrow 9 + 4k ＜ 0$
$\Rightarrow k ＜ -\frac{9}{4}$

1. (2024, 绵阳, 8) 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-2(k - 1)x + k^{2}+2 = 0$ 有实数根,则 $k$ 的取值范围为(D).
A.$k＞-\frac{1}{2}$
B.$k＜-\frac{1}{2}$
C.$k\geqslant-\frac{1}{2}$
D.$k\leqslant-\frac{1}{2}$

答案： D

2. (2024, 潍坊, 6) 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-mx - n^{2}+mn + 1 = 0$,其中 $m$,$n$ 满足 $m - 2n = 3$,关于该方程根的情况,下列判断正确的是(C).
A.无实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定

答案： C

3. 若一元二次方程 $2x^{2}-3x + c = 0$ 无解,则 $c$ 的取值范围为$c ＞ \frac{9}{8}$.

答案： $c ＞ \frac{9}{8}$

4. (2024, 南通, 13) 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-2x + k = 0$ 有两个不相等的实数根. 请写出一个满足题意的 $k$ 的值：0.

答案： 0

5. 用公式法解方程：
(1) $x^{2}-2x - 3 = 0$；
(2) $3x^{2}-2x - 9 = 0$；
(3) $y^{2}+2 = 2\sqrt{2}y$；
(4) $2x^{2}-x+\frac{1}{4}= 0$.

答案：
(1)
$a=1$，$b=-2$，$c=-3$
$\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4×1×(-3)=4+12=16＞0$
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{2\pm4}{2}$
$x_1=\frac{2+4}{2}=3$，$x_2=\frac{2-4}{2}=-1$
(2)
$a=3$，$b=-2$，$c=-9$
$\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4×3×(-9)=4+108=112＞0$
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2\pm\sqrt{112}}{6}=\frac{2\pm4\sqrt{7}}{6}=\frac{1\pm2\sqrt{7}}{3}$
$x_1=\frac{1+2\sqrt{7}}{3}$，$x_2=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$
(3)
整理得$y^2-2\sqrt{2}y+2=0$
$a=1$，$b=-2\sqrt{2}$，$c=2$
$\Delta=b^2-4ac=(-2\sqrt{2})^2-4×1×2=8-8=0$
$y=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2\sqrt{2}\pm0}{2}=\sqrt{2}$
$y_1=y_2=\sqrt{2}$
(4)
$a=2$，$b=-1$，$c=\frac{1}{4}$
$\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4×2×\frac{1}{4}=1-2=-1＜0$
方程无实数根