《2025年学习质量监测九年级数学上册人教版》

1. 如果关于 $ x $ 的方程 $ (x - 2)^{2}= 1 - m $ 无实数根,那么 $ m $ 满足的条件是(C).
A.$ m＞2 $
B.$ m＜2 $
C.$ m＞1 $
D.$ m＜1 $

答案： C

2. 若方程 $ (x - 3)^{2}= 1 $ 的两个根是等腰三角形的底和腰,则这个三角形的周长为(B).
A.8
B.10
C.8 或 10
D.不能确定

答案： B

3. 一元二次方程 $ (x + 1)^{2}= \frac{1}{4} $ 的根是$x_1 = -\frac{1}{2}$，$x_2 = -\frac{3}{2}$.

答案： $x_1 = -\frac{1}{2}$，$x_2 = -\frac{3}{2}$

4. 若方程 $ (x - 4)^{2}= a $ 有实数根,则 $ a $ 的取值范围是$a \geq 0$.

答案： $a \geq 0$

5. 解下列方程:
(1) $ 3x^{2}-4 = -3 $; (2) $ (x - 1)^{2}= 2 $;
(3) $ \frac{1}{2}(x + 2)^{2}-3 = 1 $; (4) $ (x - 2)^{2}-16 = 0 $.

答案：
(1)
解：原方程$3x^{2}-4 = - 3$可化为：
$3x^{2}=1$
$x^{2}=\frac{1}{3}$
根据平方根的定义，$x=\pm\sqrt{\frac{1}{3}}=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$
所以$x_{1}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$x_{2}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$
(2)
解：对于方程$(x - 1)^{2}=2$
根据平方根的定义，$x - 1=\pm\sqrt{2}$
则$x=1\pm\sqrt{2}$
所以$x_{1}=1+\sqrt{2}$，$x_{2}=1 - \sqrt{2}$
(3)
解：原方程$\frac{1}{2}(x + 2)^{2}-3 = 1$可化为：
$\frac{1}{2}(x + 2)^{2}=4$
$(x + 2)^{2}=8$
根据平方根的定义，$x + 2=\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}$
则$x=-2\pm2\sqrt{2}$
所以$x_{1}=-2 + 2\sqrt{2}$，$x_{2}=-2 - 2\sqrt{2}$
(4)
解：原方程$(x - 2)^{2}-16 = 0$可化为：
$(x - 2)^{2}=16$
根据平方根的定义，$x - 2=\pm4$
当$x - 2 = 4$时，$x=6$
当$x - 2=-4$时，$x=-2$
所以$x_{1}=6$，$x_{2}=-2$

6. 王师傅去年开了一家商店,今年 1 月份开始盈利,2 月份盈利 2400 元,4 月份的盈利达到3456 元,且从 2 月到 4 月,每月盈利的增长率都相同.
(1)求从 2 月到 4 月,该商店每月盈利的增长率;
(2)按照这个增长率,预计 5 月份这家商店的盈利将达到多少元?

答案：
(1)设从2月到4月，该商店每月盈利的增长率为$x$。
2月份盈利2400元，3月份盈利$2400(1+x)$元，4月份盈利$2400(1+x)^2$元。
依题意得：$2400(1+x)^2 = 3456$
化简得：$(1+x)^2 = 1.44$
开平方得：$1+x = \pm1.2$
解得：$x_1 = 0.2 = 20\%$，$x_2 = -2.2$（不合题意，舍去）
答：每月盈利的增长率为$20\%$。
(2)5月份盈利为4月份盈利乘以$(1 + 20\%)$，即：
$3456×(1 + 20\%) = 3456×1.2 = 4147.2$（元）
答：预计5月份盈利将达到$4147.2$元。

7. 果农田丰计划将种植的草莓以每千克 15 元的价格对外批发销售,由于部分果农盲目扩大种植,造成该草莓滞销. 为了加快销售,减少损失,田丰对价格进行两次下调后,以每千克 9.6元的价格对外批发销售.
(1)如果每次价格下调的百分率相同,求田丰每次价格下调的百分率.
(2)小李准备到田丰处购买 3 吨该草莓,因数量较多,田丰准备再给予两种优惠方案供选择:方案一:打 9 折销售;方案二:不打折,每吨优惠现金 400 元.
试问小李选择哪种方案更优惠? 请说明理由.

答案：
(1)设每次价格下调的百分率为$x$，根据题意，得$15(1 - x)^2 = 9.6$。
两边同除以15，得$(1 - x)^2 = 0.64$。
开平方，得$1 - x = \pm0.8$。
解得$x_1 = 0.2$，$x_2 = 1.8$（不合题意，舍去）。
$\therefore x = 20\%$。
(2)3吨=3000千克。
方案一费用：$9.6×3000×0.9 = 25920$元。
方案二费用：$9.6×3000 - 400×3 = 27600$元。
$\because 25920 ＜ 27600$，$\therefore$选择方案一更优惠。
答：
(1)每次价格下调的百分率为20%；
(2)小李选择方案一更优惠。