《2025年学习质量监测九年级数学上册人教版》

12. 一个函数的图象是一条以 $ y $ 轴为对称轴、以原点为顶点的抛物线,且经过点 $ A(-2,8) $.
(1)求这个函数的解析式；
(2)画出这个函数的图象；
(3)写出抛物线上点 $ A $ 关于 $ y $ 轴的对称点 $ B $ 的坐标,并计算 $ \triangle ABO $ 的面积.

答案： （1）设函数解析式为$y = ax^{2}$（$a\neq0$），
因为函数图象过点$A(-2,8)$，将$x = - 2$，$y = 8$代入$y = ax^{2}$，
得$8=a×(-2)^{2}$，
即$4a = 8$，
解得$a = 2$，
所以这个函数的解析式为$y = 2x^{2}$。
（2）列表：
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | $8$ | $2$ | $0$ | $2$ | $8$ |
描点、连线，画出函数$y = 2x^{2}$的图象（图象为开口向上，对称轴为$y$轴，顶点为原点的抛物线）。
（3）因为点$A(-2,8)$，点$A$与点$B$关于$y$轴对称，
所以点$B$的坐标为$(2,8)$。
在$\triangle ABO$中，$OA=OB=\sqrt{(-2)^{2}+8^{2}}=\sqrt{4 + 64}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$（也可根据$A$、$B$关于$y$轴对称，$OA = OB$，通过距离公式计算），
以$AB$为底，$AB=2 - (-2)=4$，$AB$边上的高就是$A$（或$B$）的纵坐标$8$，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，
可得$S_{\triangle ABO}=\frac{1}{2}×4×8 = 16$。
综上，答案依次为：（1）$y = 2x^{2}$；（3）$B(2,8)$，$S_{\triangle ABO}=16$。

1. 若二次函数 $ y = ax^{2}(a \neq 0) $ 的图象经过点 $ P(-2,4) $,则该图象必经过点(A).
A.$ (2,4) $
B.$ (-2,-4) $
C.$ (-4,2) $
D.$ (4,-2) $

答案： A

2. 二次函数 $ y = ax^{2} $ 与一次函数 $ y = ax + a $ 在同一平面直角坐标系中的图象可能为(C).

A.
B.
C.
D.

答案： C

3. 有下列说法:①在函数 $ y = 3x^{2} $ 中,当 $ x ＞ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；②在函数 $ y = - \frac{1}{2}x^{2} $ 中,当 $ x = 0 $ 时,$ y $ 有最大值 $ 0 $；③抛物线 $ y = - \frac{1}{2}x^{2} $,$ y = 3x^{2} $,$ y = - x^{2} $ 中,抛物线 $ y = 3x^{2} $ 的开口最小,抛物线 $ y = - \frac{1}{2}x^{2} $ 的开口最大；④不论 $ a $ 是正数还是负数,抛物线 $ y = ax^{2} $ 的顶点都是原点,对称轴均为 $ y $ 轴.其中正确的是①②③④.

答案： ①②③④

4. 若抛物线 $ y = ax^{2} $ 和直线 $ y = x + b $ 均过点 $ (1,4) $,则 $ a = $4,$ b = $3,直线过第一、二、三象限,抛物线不经过第三、四象限.

答案： 4,3,一、二、三,三、四