《2025年学习质量监测九年级数学上册人教版》

12. 如图,用一块长为5m,宽为3m的矩形铁皮,四角各截去一个相等的正方形,做成一个底面积为$3m^{2}$的无盖水箱.若设正方形的边长为$x$m,$x$可以等于1吗？可以等于2吗？为什么？

答案： 根据题意，水箱的底面积公式为：
$(5 - 2x)(3 - 2x) = 3$，
展开并整理得：
$15 - 10x - 6x + 4x^2 = 3$，
$4x^2 - 16x + 12 = 0$，
化简为：
$x^2 - 4x + 3 = 0$，
因式分解为：
$(x - 1)(x - 3) = 0$，
解得：
$x_1 = 1, \quad x_2 = 3$，
验证解的合理性：
当 $x = 1$ 时，
$5 - 2x = 3 ＞ 0, \quad 3 - 2x = 1 ＞ 0$，
底面积为 $3 × 1 = 3$，符合题意。
当 $x = 2$ 时，
$3 - 2x = -1 ＜ 0$，
此时无法构成水箱，舍去。
综上，$x$ 可以等于 1，但不可以等于 2。

1. 将一根长80cm的铁丝围成一个面积为$300cm^{2}$的矩形,则该矩形的长可以是(D).
A.15cm
B.20cm
C.25cm
D.30cm

答案： D

2. 若$n(n\neq0)是关于x的方程x^{2}+mx + 2n = 0$的根,则$m + n$的值为(A).
A.$-2$
B.$-1$
C.2
D.1

答案： A

3. 若关于$x的一元二次方程(m + 1)x^{2}-x + m^{2}-1 = 0$有一个根为0,则$m$的值为1.

答案： $1$

4. 已知1,$-1是关于x的方程x^{2}+bx + c = 0$的两个根,则$b$的值是0,$c$的值是-1.

答案： $b$的值是$0$，$c$的值是$-1$（按照题目顺序，答案依次为0；$-1$）

5. 已知方程$x^{2}+mx + 6 = 3x + n有两个根-1$和2,求$m$,$n$的值.

答案： 首先，将原方程 $x^{2} + mx + 6 = 3x + n$ 化为一元二次方程的一般形式：
$x^{2} + (m - 3)x + (6 - n) = 0$，
由题意知，方程的两个根为 $x_1 = -1$ 和 $x_2 = 2$。
根据一元二次方程的根与系数的关系，有：
根的和：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -(m - 3)$，
根的积：$x_1 × x_2 = \frac{c}{a} = 6 - n$，
将 $x_1 = -1$ 和 $x_2 = 2$ 代入上述两个方程，得到：
$-1 + 2 = -(m - 3)$，
$-1 × 2 = 6 - n$，
解这两个方程，得到：
$1 = -m + 3$，
$-2 = 6 - n$，
进一步解得：
$m = 2$，
$n = 8$，
所以，$m$ 的值为 $2$，$n$ 的值为 $8$。

6. 已知$a是方程x^{2}-3x + 1 = 0$的根,求$\dfrac{a^{2}}{a^{4}+1}$的值.

答案： 因为$a$是方程$x^{2}-3x + 1 = 0$的根，所以$a^{2}-3a + 1 = 0$。
由于$a\neq0$（若$a = 0$，代入方程左边得$0 - 0 + 1=1\neq0$），方程两边同除以$a$，得$a - 3+\frac{1}{a}=0$，即$a+\frac{1}{a}=3$。
对$a+\frac{1}{a}=3$两边平方，得$(a+\frac{1}{a})^{2}=9$，即$a^{2}+2+\frac{1}{a^{2}}=9$，所以$a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=7$。
要求$\frac{a^{2}}{a^{4}+1}$，分子分母同除以$a^{2}$（$a\neq0$），得$\frac{1}{a^{2}+\frac{1}{a^{2}}}$。
因为$a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=7$，所以$\frac{a^{2}}{a^{4}+1}=\frac{1}{7}$。
$\frac{1}{7}$

7. 在实数范围内定义运算“$\oplus$”,其法则为$a\oplus b = a^{2}-b^{2}$,试判断5是不是方程$(4\oplus3)\oplus x = 24$的根.

答案： 根据运算“$\oplus$”的定义，$a\oplus b = a^{2} - b^{2}$。
首先计算$4 \oplus 3$：
$4 \oplus 3 = 4^{2} - 3^{2} = 16 - 9 = 7$。
接下来，将结果代入方程$(4 \oplus 3) \oplus x = 24$，得到：
$7 \oplus x = 24$。
根据运算“$\oplus$”的定义，这可以转化为：
$7^{2} - x^{2} = 24$。
$49 - x^{2} = 24$。
整理方程，得到：
$x^{2} = 25$。
解方程，得到：
$x = \pm 5$。
因此，$x = 5$是方程的一个解。
所以，5是方程$(4 \oplus 3) \oplus x = 24$的根。