《2025年学习质量监测九年级数学上册人教版》

5. 如图,一次函数 $ y = kx + b $ 的图象与二次函数 $ y = ax^{2} $ 的图象交于点 $ A(1,m) $ 和点 $ B(-2,4) $,与 $ y $ 轴交于点 $ C $.
(1)求 $ k,b,a $ 的值；
(2)求 $ \triangle AOB $ 的面积.

答案：
(1)
把$B(-2,4)$代入$y = ax^{2}$，可得$4=a×(-2)^{2}$，即$4 = 4a$，解得$a = 1$。
所以二次函数解析式为$y = x^{2}$，把$A(1,m)$代入$y = x^{2}$，得$m=1^{2}=1$，则$A(1,1)$。
把$A(1,1)$，$B(-2,4)$代入$y = kx + b$，得$\begin{cases}k + b = 1\\-2k + b = 4\end{cases}$，
用第一个方程减去第二个方程消去$b$：$(k + b)-(-2k + b)=1 - 4$，$3k=-3$，解得$k = - 1$。
把$k = - 1$代入$k + b = 1$，得$-1 + b = 1$，解得$b = 2$。
(2)
对于一次函数$y=-x + 2$，令$x = 0$，则$y = 2$，所以$C(0,2)$。
$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle BOC}+S_{\triangle AOC}$，
$S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}×2×2 = 2$，$S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}×2×1 = 1$。
所以$S_{\triangle AOB}=2 + 1=3$。
综上，
(1) $k=-1$，$b = 2$，$a = 1$；
(2) $\triangle AOB$的面积为$3$。

6. 如图,直线 $ l $ 过 $ A(4,0) $,$ B(0,4) $ 两点,它与二次函数 $ y = ax^{2} $ 的图象在第一象限内交于点 $ P $,若 $ \triangle AOP $ 的面积为 $ \frac{9}{2} $,求二次函数的解析式.

答案： 1. 求直线$ l $的解析式：设直线$ l $为$ y=kx+b $，将$ A(4,0) $、$ B(0,4) $代入得$\begin{cases} 4k+b=0 \\ b=4 \end{cases}$，解得$ k=-1 $，$ b=4 $，故直线$ l $：$ y=-x+4 $。
2. 求点$ P $的纵坐标：$ OA=4 $，$ S_{\triangle AOP}=\frac{1}{2} × OA × y_{P}=\frac{1}{2} × 4 × y_{P}=2y_{P}=\frac{9}{2} $，解得$ y_{P}=\frac{9}{4} $。
3. 求点$ P $的横坐标：将$ y_{P}=\frac{9}{4} $代入直线$ l $：$ \frac{9}{4}=-x+4 $，解得$ x=\frac{7}{4} $，故$ P\left( \frac{7}{4},\frac{9}{4} \right) $。
4. 求二次函数解析式：将$ P\left( \frac{7}{4},\frac{9}{4} \right) $代入$ y=ax^{2} $，得$ \frac{9}{4}=a\left( \frac{7}{4} \right)^{2} $，解得$ a=\frac{36}{49} $。
二次函数解析式为$ y=\frac{36}{49}x^{2} $。

7. 如图,正方形 $ OABC $ 的顶点 $ B $ 恰好在函数 $ y = ax^{2}(a ＞ 0) $ 的图象上,若正方形 $ OABC $ 的边长为 $ \sqrt{2} $,且边 $ OA $ 与 $ x $ 轴正半轴的夹角为 $ 15^{\circ} $,求二次函数的解析式.

答案： y=√3 x²