《2025年学习质量监测九年级数学上册人教版》

3. 如图,正方形 $ABCD$ 的边长为 $1$,以顶点 $A$,$B$,$C$,$D$ 为圆心,$1$ 为半径画弧,交于点 $E$,$F$,$G$,$H$,则由 $\overset{\frown}{EF}$,$\overset{\frown}{FG}$,$\overset{\frown}{GH}$,$\overset{\frown}{HE}$所围成的图形的周长等于2π/3.

答案： 2π/3

4. 如图,小方格都是边长为 $1$ 的正方形,则以格点为圆心,半径为 $1$ 和 $2$ 的两种弧围成的“叶状”图案(阴影部分)的面积为2π-4.

答案： 2π-4

5. 如图,已知 $\odot O$ 的半径为 $10\ cm$,弦 $AB$ 垂直平分半径 $OC$,并交 $OC$ 于点 $D$.求 $\overset{\frown}{AB}$的长,并求出图中阴影部分的面积.

答案： 弧长计算：
1. 连接 $OA$，$OB$，$OC$ 为半径，$OC = 10\ cm$。
2. $AB$ 垂直平分 $OC$，则 $OD = \frac{1}{2}OC = 5\ cm$，$\angle ODA = 90°$。
3. 在 $Rt\triangle OAD$ 中，$\cos\angle AOD = \frac{OD}{OA} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$，故 $\angle AOD = 60°$。
4. 同理 $\angle BOD = 60°$，则 $\angle AOB = \angle AOD + \angle BOD = 120°$。
5. 弧长公式：$l_{\overset{\frown}{AB}} = \frac{n\pi r}{180} = \frac{120\pi × 10}{180} = \frac{20\pi}{3}\ cm$。
阴影面积计算：
1. 扇形 $OAB$ 面积：$S_{扇形} = \frac{n\pi r^2}{360} = \frac{120\pi × 10^2}{360} = \frac{100\pi}{3}\ cm^2$。
2. $\triangle OAB$ 面积：$S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2}OA \cdot OB \cdot \sin\angle AOB = \frac{1}{2} × 10 × 10 × \sin120° = 25\sqrt{3}\ cm^2$。
3. 阴影面积：$S_{阴影} = S_{扇形} - S_{\triangle OAB} = \frac{100\pi}{3} - 25\sqrt{3}\ cm^2$。
结论：
$\overset{\frown}{AB}$ 的长为 $\frac{20\pi}{3}\ cm$；
阴影部分面积为 $\left(\frac{100\pi}{3} - 25\sqrt{3}\right)\ cm^2$。

6. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AC = 8$,$BC = 6$,$AB = 10$,$D$ 是 $AB$ 的中点,以点 $A$ 为圆心,$AD$ 为半径画 $\odot A$ 交 $AC$ 于点 $E$,以点 $B$ 为圆心,$BD$ 为半径画 $\odot B$ 交 $BC$ 于点 $F$.求 $S_{扇形ADE} + S_{扇形BDF}$.

答案： $\boxed{\dfrac{25\pi}{4}}$

7. 如图,在 $□ ABCD$ 中,$AB$ 为 $\odot O$ 的直径,$\odot O$ 与 $DC$ 相切于点 $E$,与 $AD$ 相交于点 $F$,已知 $AB = 12$,$\angle C = 65^{\circ}$,求 $\overset{\frown}{EF}$的长.

答案： 连接OE、OF。
∵AB是⊙O的直径，AB=12，
∴⊙O的半径r=6。
∵四边形ABCD是平行四边形，∠C=65°，
∴∠A=∠C=65°，AB//CD。
∵CD与⊙O相切于点E，
∴OE⊥CD（切线垂直于过切点的半径）。
∵AB//CD，
∴OE⊥AB，
∴∠AOE=90°。
∵点F在⊙O上，
∴OA=OF=6，△AOF为等腰三角形，∠OAF=∠OFA=65°。
∴∠AOF=180°-2×65°=50°。
∴∠EOF=∠AOE-∠AOF=90°-50°=40°。
∴弧EF的长为：$\frac{40\pi×6}{180}=\frac{4\pi}{3}$。
$\frac{4\pi}{3}$