《2025年学习质量监测九年级数学上册人教版》

12. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-(2a + 3)x + a^{2}-3 = 0$ 的两个实数根互为倒数,求 $a$ 的值.

答案： $a=2$

1. 已知 $m,n$ 是一元二次方程 $x^{2}+2x - 5 = 0$ 的两个根,则 $m^{2}+mn + 2m$ 的值为(A).
A.0
B.$-10$
C.3
D.10

答案： A

2. (2024,日照,8)已知实数 $x_{1},x_{2}(x_{1}\neq x_{2})$ 是关于 $x$ 的方程 $kx^{2}+2kx + 1 = 0(k\neq0)$ 的两个根.若 $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}= 2$,则 $k$ 的值为(B).
A.1
B.$-1$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$

答案： B

3. 在解一元二次方程 $x^{2}+bx + c = 0$ 时,小明看错了一次项系数 $b$,得到的根为 $x_{1}= 2,x_{2}= 3$；小刚看错了常数项 $c$,得到的根为 $x_{1}= 1,x_{2}= 5$. 请你写出正确的一元二次方程：$x^{2} - 6x + 6 = 0$.

答案： $x^{2} - 6x + 6 = 0$

4. 已知 $a$ 和 $b$ 是一元二次方程 $x^{2}+2025x - 4 = 0$ 的两个根,则 $a^{2}+2024a - b$ 的值为2029.

答案： 2029

5. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+kx + 4k^{2}-3 = 0$ 的两个实数根是 $x_{1},x_{2}$,且满足 $x_{1}+x_{2}= x_{1}x_{2}$,求 $k$ 的值.

答案： 根据一元二次方程根与系数关系（韦达定理）得：
$x_{1} + x_{2} = -k$，
$x_{1}x_{2} = 4k^{2} - 3$。
由题意，$x_{1} + x_{2} = x_{1}x_{2}$，代入上述关系式得：
$-k = 4k^{2} - 3$，
整理得：
$4k^{2} + k - 3 = 0$，
因式分解得：
$(4k - 3)(k + 1) = 0$，
解得：
$k_{1} = \frac{3}{4}$，$k_{2} = -1$。
根据方程有两个实数根，所以判别式 $\Delta \geq 0$，即：
$\Delta = k^{2} - 4(4k^{2} - 3) = k^{2} - 16k^{2} + 12 = -15k^{2} + 12 \geq 0$，
解得：
$-\frac{2\sqrt{5}}{5} \leq k \leq \frac{2\sqrt{5}}{5}$。
综合上述结果，只有 $k = \frac{3}{4}$ 满足条件（因为 $k = -1$ 不在 $-\frac{2\sqrt{5}}{5} \leq k \leq \frac{2\sqrt{5}}{5}$ 范围内）。
故 $k = \frac{3}{4}$。

6. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-6x + 4m + 1 = 0$ 有实数根.
(1)求 $m$ 的取值范围；
(2)若该方程的两个实数根为 $x_{1},x_{2}$,且 $|x_{1}-x_{2}| = 4$,求 $m$ 的值.

答案： 答题卡：
(1)
由于方程 $x^{2} - 6x + 4m + 1 = 0$ 有实数根，根据判别式的性质，有：
$\Delta = b^{2} - 4ac \geq 0$，
其中，$a = 1, b = -6, c = 4m + 1$。
代入得：
$\Delta = (-6)^{2} - 4×(1)×(4m + 1) \geq 0$
$36 - 16m - 4 \geq 0$
$-16m \geq -32$
$m \leq 2$
(2)
根据韦达定理，对于方程 $x^{2} - 6x + 4m + 1 = 0$，有：
$x_{1} + x_{2} = 6$
$x_{1}x_{2} = 4m + 1$
又因为 $|x_{1} - x_{2}| = 4$，
所以 $(x_{1} - x_{2})^{2} = 16$。
根据平方差公式，有：
$(x_{1} - x_{2})^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 4x_{1}x_{2}$
代入得：
$16 = 6^{2} - 4(4m + 1)$
$16 = 36 - 16m - 4$
$-16m = -16$
$m = 1$
综上：
(1) $m$ 的取值范围是 $m \leq 2$；
(2)$m$ 的值是1。

7. 关于 $x$ 的一元二次方程 $3x^{2}-10x + k = 0$ 有实数根,求满足下列条件的 $k$ 的取值范围：
(1)有两个正数根；
(2)有一个正数根和一个负数根.

答案：
(1) $0 ＜ k \leq \frac{25}{3}$；
(2) $k ＜ 0$。