《2025年学习质量监测九年级数学上册人教版》

5. 已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $,当 $ x = 1 $ 时,$ y $ 有最大值 $ 5 $,且它的图象经过点 $ (2, 3) $,求该二次函数的解析式。

答案： $y = -2x^2 + 4x + 3$

6. 已知抛物线的顶点 $ A $ 在直线 $ y = 2x $ 上,抛物线过原点 $ O $,与 $ x $ 轴的另一个交点为 $ B $,且 $ OB = 4 $,求抛物线的解析式。

答案： 情况一：当点$ B(4,0) $时，设抛物线解析式为$ y = ax(x - 4) $，即$ y = ax^2 - 4ax $。
顶点横坐标$ x = -\frac{-4a}{2a} = 2 $，代入得顶点纵坐标$ y = a(2)^2 - 4a(2) = -4a $，顶点$ A(2, -4a) $。
∵顶点在$ y = 2x $上，
∴$ -4a = 2×2 $，解得$ a = -1 $。
解析式为$ y = -x^2 + 4x $。
情况二：当点$ B(-4,0) $时，设抛物线解析式为$ y = ax(x + 4) $，即$ y = ax^2 + 4ax $。
顶点横坐标$ x = -\frac{4a}{2a} = -2 $，代入得顶点纵坐标$ y = a(-2)^2 + 4a(-2) = -4a $，顶点$ A(-2, -4a) $。
∵顶点在$ y = 2x $上，
∴$ -4a = 2×(-2) $，解得$ a = 1 $。
解析式为$ y = x^2 + 4x $。
综上，抛物线解析式为$ y = -x^2 + 4x $或$ y = x^2 + 4x $。

7. 一名男生掷实心球,已知实心球出手时离地面 $ 2 $ m,当实心球行进的水平距离为 $ 4 $ m 时,实心球被掷得最高,此时实心球离地面 $ 3.6 $ m,设实心球行进的路线是如图所示的一段抛物线。
(1) 求实心球行进的高度 $ y $(单位：m)与行进的水平距离 $ x $(单位：m)之间的函数解析式.
(2) 如果实心球考试成绩的优秀等级设为 $ 9.6 $ m,那么这名男生在此次考试中是否能达到优秀？请说明理由.
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答案：
(1) 设抛物线解析式为$y=a(x-4)^2+3.6$，将$(0,2)$代入得：$2=a(0-4)^2+3.6$，解得$a=-0.1$，故函数解析式为$y=-0.1(x-4)^2+3.6$，展开得$y=-0.1x^2+0.8x+2$。
(2) 令$y=0$，则$-0.1(x-4)^2+3.6=0$，解得$x_1=10$，$x_2=-2$（舍去）。因为$10＞9.6$，所以能达到优秀。