《2025年学习质量监测九年级数学上册人教版》

12. 根据下列问题,列出关于$x$的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式.
(1)一个正方形的面积为8,设这个正方形的边长为$x$;
(2)某小区在设计住宅时,准备在每两幢楼房之间开辟面积为$900m^{2}$的一块长方形绿地,并且长比宽多$11m$,设绿地的宽为$x m$.

答案：
(1)
根据题意，正方形的面积为边长$x$的平方，即$x^2$。
由正方形面积为8，得方程：
$x^2 = 8$
其一般形式为：
$x^2 - 8 = 0$
(2)
设绿地的宽为$x$ m，则长为$x + 11$ m。
长方形的面积为长乘以宽，即$x(x + 11)$。
由题意知面积为$900m^2$，得方程：
$x(x + 11) = 900$
展开得一般形式为：
$x^2 + 11x - 900 = 0$

1. 下列方程是关于$x$的一元二次方程的是(D).
A.$m^{2}-4x = 0$
B.$ax^{2}+bx + c = 0$
C.$x^{3}-2x - 9 = 0$
D.$(a^{2}+1)x^{2}-2x - 8 = 0$

答案： D

2. (2022,宁夏,6)受国际油价影响,今年我国汽油价格总体呈上升趋势.某地92号汽油价格三月底是6.2元/升,五月底是8.9元/升.设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为$x$,根据题意列出方程,正确的是(A).
A.$6.2(1 + x)^{2}= 8.9$
B.$8.9(1 + x)^{2}= 6.2$
C.$6.2(1 + x^{2}) = 8.9$
D.$6.2(1 + x)+6.2(1 + x)^{2}= 8.9$

答案： A

3. 关于$x的一元二次方程x^{2}-a(x - 2a + b)-b^{2}= 0$中,常数项为$2a^{2}-ab - b^{2}$.

答案： $2a^{2}-ab - b^{2}$（题目是填空题，按照要求这里应填写该表达式相关（由于是填空题直接写答案形式），若按给定格式要求对应假设选项等形式下（本题实际非选择但按规则要求）这里按规则书写为对应答案呈现形式，实际本题答案就是$2a^{2}-ab - b^{2}$ ） ，若非要按选择形式理解可假设关于此答案对应为某固定选项则填对应标识（但本题原形式非选择），严格按规则要求就答案本身填$2a^{2}-ab - b^{2}$相关（此处按规则要求书写为答案呈现） 。

4. 关于$x的方程(m^{2}-4)x^{2}-(m - 2)x - 1 = 0$中,当$m$$m \neq \pm 2$时,是一元二次方程;当$m$$m = -2$时,是一元一次方程.

答案： $m \neq \pm 2$；$m = -2$

5. 根据下列问题列方程,并将其化成一元二次方程的一般形式.
(1)某种产品原来成本价是25元,后来由于改进生产技术,连续两次降低成本,现在这种产品的成本价仅为16元,试问平均每次降低成本的百分率为多少?
(2)一个直角三角形的斜边长为13,两条直角边相差7,求较短的直角边的长.

答案：
(1)设平均每次降低成本的百分率为$x$，根据题意得：$25(1 - x)^2 = 16$，化成一般形式：$25x^2 - 50x + 9 = 0$。
(2)设较短的直角边的长为$x$，则较长的直角边的长为$x + 7$，根据勾股定理得：$x^2 + (x + 7)^2 = 13^2$，化成一般形式：$x^2 + 7x - 60 = 0$。

6. 已知$2x^{a + b}+x^{a}+1 = 0是关于x$的一元二次方程,求$a,b$的值.

答案： $(a,b)=(0,2)$或$(1,1)$或$(2,0)$或$(2,-1)$或$(2,-2)$。

7. 已知关于$x的方程2a^{2}x^{2}-(ax^{2}+x)a + 3x^{2}+1 = 0$,试证明不论$a$取何值,该方程都是一元二次方程.

答案： 将方程$2a^{2}x^{2} - (ax^{2} + x)a + 3x^{2} + 1 = 0$展开并整理：
$2a^{2}x^{2} - a^{2}x^{2} - ax + 3x^{2} + 1 = 0$，
$(2a^{2}x^{2} - a^{2}x^{2}) + 3x^{2} - ax + 1 = 0$，
$a^{2}x^{2} + 3x^{2} - ax + 1 = 0$，
$(a^{2} + 3)x^{2} - ax + 1 = 0$。
根据一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式为$Ax^{2} + Bx + C = 0$，其中$A \neq 0$。
在方程$(a^{2} + 3)x^{2} - ax + 1 = 0$中，二次项系数为$a^{2} + 3$。
由于$a^{2} \geq 0$，所以$a^{2} + 3 \gt 0$，即二次项系数不为0。
因此，不论$a$取何值，该方程都是一元二次方程。