《2025年学习质量监测九年级数学上册人教版》

5. 已知二次函数$y = ax^{2}+k(a\neq0)的图象经过点A(1,-1)$,$B(2,5)$.
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若点$C(-2,m)$,$D(n,7)$也在函数的图象上,求$m$,$n$的值.

答案：
(1)
已知二次函数$y = ax^{2} + k$经过点$A(1, -1)$和$B(2, 5)$，
将点$A(1, -1)$代入$y = ax^{2} + k$，得到：
$a \cdot 1^{2} + k = -1$，
即$a + k = -1$，
将点$B(2, 5)$代入$y = ax^{2} + k$，得到：
$a \cdot 2^{2} + k = 5$，
即$4a + k = 5$，
解这个二元一次方程组：
$\begin{cases}a + k = -1,\\4a + k =5.\end{cases}$
用$4a + k = 5$减去$a + k = -1$得：
$3a=6$，
解得$a = 2$，
将$a = 2$代入$a + k = -1$得：
$2+k=-1$，
解得$k = -3$，
因此，该二次函数的解析式为$y = 2x^{2} - 3$。
(2)
已知点$C(-2, m)$在函数图象上，将$x = -2$代入$y = 2x^{2} - 3$，得到：
$m = 2 × (-2)^{2} - 3 = 5$，
同样，点$D(n, 7)$也在函数图象上，将$y = 7$代入$y = 2x^{2} - 3$，得到：
$2n^{2} - 3 = 7$，
$2n^{2} = 10$，
$n^{2} = 5$，
解得$n = \pm \sqrt{5}$。

6. 若二次函数$y = ax^{2}+b的最大值为4$,且该函数的图象经过点$A(1,3)$,其顶点为$D$.
(1)求$a$,$b的值以及顶点D$的坐标.
(2)在二次函数$y = ax^{2}+b的图象上是否存在一点B$,使得$S_{\triangle DOB}= 2S_{\triangle AOD}$？若存在,求出点$B$的坐标；若不存在,请说明理由.

答案：
(1)
已知二次函数$y = ax^{2}+b$的最大值为$4$，因为二次函数$y = ax^{2}+b$，当$a\lt0$时有最大值，且最大值为$b$，所以$b = 4$。
又因为函数图象经过点$A(1,3)$，将$A(1,3)$代入$y = ax^{2}+4$，可得$a×1^{2}+4 = 3$，即$a+4 = 3$，解得$a=-1$。
对于二次函数$y = -x^{2}+4$，其顶点坐标为$(0,4)$，所以顶点$D$的坐标为$(0,4)$。
(2)
已知$A(1,3)$，$D(0,4)$，则$S_{\triangle AOD}=\frac{1}{2}× OD×|x_{A}|=\frac{1}{2}×4×1 = 2$。
因为$S_{\triangle DOB}=2S_{\triangle AOD}$，所以$S_{\triangle DOB}=4$。
设$B(x, -x^{2}+4)$，$S_{\triangle DOB}=\frac{1}{2}× OD×|x|=\frac{1}{2}×4×|x| = 4$，即$2|x| = 4$，解得$x=\pm2$。
当$x = 2$时，$y=-2^{2}+4 = 0$；当$x=-2$时，$y=-(-2)^{2}+4 = 0$。
所以点$B$的坐标为$(2,0)$或$(-2,0)$。

7. 如图,抛物线$y = 2(x - 2)^{2}与平行于x轴的直线交于A$,$B$两点,抛物线的顶点为$C$,且$\triangle ABC$为等边三角形,求$S_{\triangle ABC}$.

答案： $ \frac{3\sqrt{3}}{4} $