《2025年学习质量监测九年级数学上册人教版》

4. 某校“研学”活动小组在一次野外实践时,发现一种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是 43,则这种植物每个支干长出的小分支个数是6.

答案： 6

5. 某商品现在的售价为每件 60 元,每星期可卖出 300 件. 市场调查反映：每降价 1 元,每星期可多卖出 20 件. 已知商品的进价为每件 40 元,在顾客获得实惠的前提下,商家还想获得 6 080 元的利润,应将销售单价定为多少元？

答案： 设每件商品降价$x$元，则销售单价为$(60 - x)$元，每星期的销售量为$(300 + 20x)$件。
每件商品的利润为$(60 - x - 40) = (20 - x)$元，根据总利润=每件利润×销售量，可得方程：
$(20 - x)(300 + 20x) = 6080$
展开并整理方程：
$20×300 + 20×20x - 300x - 20x² = 6080$
$6000 + 400x - 300x - 20x² = 6080$
$-20x² + 100x + 6000 = 6080$
$-20x² + 100x - 80 = 0$
两边同除以$-20$：$x² - 5x + 4 = 0$
因式分解：$(x - 1)(x - 4) = 0$，解得$x_1 = 1$，$x_2 = 4$
为使顾客获得实惠，应选择降价更多的$x = 4$，此时销售单价为$60 - 4 = 56$元
答：应将销售单价定为$56$元。

6. (2024,淄博,20)“我运动,我健康,我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高. 某市参加健身运动的人数逐年增多,从 2021 年的 32 万人增加到 2023 年的 50 万人.
(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率.
(2)为支持市民的健身运动,市政府决定从 A 公司购买某种套装健身器材. 该公司规定：若购买不超过 100 套,每套售价 1 600 元；若超过 100 套,每增加 10 套,每套售价可降低 40 元. 但最低售价不得少于 1 000 元. 已知市政府向该公司支付货款 24 万元,求购买的这种健身器材的套数.

答案：
(1)设该市参加健身运动人数的年均增长率为$x$，
根据题意，得$32(1 + x)^{2} = 50$，
$(1 + x)^{2} = \frac{50}{32} = \frac{25}{16}$
$1 + x = \pm\frac{5}{4}$
$x = \frac{5}{4} - 1 = 0.25 = 25\%$ 或 $x = -\frac{5}{4} - 1 = -2.25$（舍去）
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为$25\%$。
(2)设购买的这种健身器材的套数为$n$，
当$n \leq 100$时，支付货款最多为$1600 × 100 = 160000$（元），
因为$160000 ＜ 240000$，
所以$n ＞ 100$，
根据题意，得$[1600 - 40 × \frac{n - 100}{10}]n = 240000$，
$1600n - 4n(n - 100) = 240000$
$1600n - 4n^2 + 400n = 240000$
$4n^2 - 2000n + 240000 = 0$
$n^2 - 500n + 60000 = 0$
$(n - 200)(n - 300) = 0$
$n = 200$ 或 $n = 300$，
当$n = 300$时，$1600 - 40 × \frac{300 - 100}{10} = 800$（元），
因为$800 ＜ 1000$，
所以$n = 300$不合题意，舍去，
答：购买的这种健身器材的套数为$200$套。

7. 如图①,用篱笆靠墙围成矩形花圃 $ ABCD $,墙可利用的最大长度为 15 m,一面利用旧墙,其余三面用篱笆围成,篱笆的总长度为 24 m.
(1)若围成的花圃面积为 $ 40 m^2 $,求 $ AB $ 的长.
(2)如图②,若计划在花圃中间再用一道篱笆隔成两个小矩形,且围成的花圃面积为 $ 50 m^2 $,请你判断能否成功围成花圃？如果能,求 $ AB $ 的长；如果不能,请说明理由.

答案：
(1) 设 $AB = x$ m，则 $BC = (24 - 2x)$ m。
根据题意，矩形面积 $S = AB × BC = x(24 - 2x) = 40$。
整理得：
$x^2 - 12x + 20 = 0$
解得：
$x_1 = 2$（由于 $24 - 2x \leq 15$，即 $x \geq 4.5$，此解不符合条件，舍去）
$x_2 = 10$
答：$AB$ 的长为 $10$ m。
(2) 设 $AB = y$ m，则矩形的长为 $(24 - 3y)$ m。
根据题意，矩形面积 $S = AB × 长 = y(24 - 3y) = 50$。
整理得：
$3y^2 - 24y + 50 = 0$
计算判别式：
$\Delta = (-24)^2 - 4 × 3 × 50 = 576 - 600 = -24 ＜ 0$
由于判别式小于0，方程无实数解。
答：不能围成面积为 $50 m^2$ 的花圃。