《2025年学习质量监测九年级数学上册人教版》

8. 如图,$AB$ 是 $\odot O$ 的直径,$\overset{\frown}{BC}= \overset{\frown}{CD}= \overset{\frown}{DE}$,$\angle AOE = 72^{\circ}$,则 $\angle BOC$ 的度数是 36°。

答案： 36°

9. 如图,点 $A$,$B$,$C$,$D$ 在 $\odot O$ 上,$OC\perp AB$,$OB\perp CD$。连接 $AC$,$BC$,$BD$,$OA$,$OD$,则图中相等的圆心角是 ∠AOC=∠BOC,相等的弦是 AC=BC,相等的弧是 弧AC=弧BC (写出一组即可)。

答案： ∠AOC=∠BOC，AC=BC，弧AC=弧BC

10. 如图,$AB$,$CD$ 是 $\odot O$ 的直径,$\angle AOC = 36^{\circ}$,$E$ 是 $\overset{\frown}{BC}$ 的中点,则 $\angle AOE$ 的度数是 108°。

答案： 108°

11. 如图,$A$,$B$,$C$,$D$ 是 $\odot O$ 上的点,$\angle 1= \angle 2$,$AC = 3\mathrm{cm}$。
(1)求证：$\overset{\frown}{AC}= \overset{\frown}{BD}$；
(2)求 $BD$ 的长。

答案：
(1)证明：
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠COD=∠2+∠COD（等式性质），
即∠AOC=∠BOD，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$（在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等）。
(2)解：
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴AC=BD（在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等），
∵AC=3cm，
∴BD=3cm。

12. 如图,以 $□ ABCD$ 的顶点 $A$ 为圆心,$AB$ 为半径作 $\odot A$,交 $BC$,$AD$ 于点 $M$,$N$,交 $BA$ 的延长线于点 $E$。
(1)求证：$\overset{\frown}{MN}= \overset{\frown}{EN}$；
(2)若 $\overset{\frown}{MN}= \overset{\frown}{BM}$,求 $\angle D$ 的度数。

答案：
(2)$60^{\circ}$

1. 如图,$AB$ 是 $\odot O$ 的直径,$EF$,$EB$ 是 $\odot O$ 的弦,且 $EF = EB$,$EF$ 与 $AB$ 交于点 $C$,连接 $OF$。若 $\angle AOF = 40^{\circ}$,则 $\angle F$ 的度数是(B)。

A.$20^{\circ}$
B.$35^{\circ}$
C.$40^{\circ}$
D.$55^{\circ}$

答案： 1. 首先，连接$OE$：
因为$\angle AOF = 40^{\circ}$，根据邻补角的性质，$\angle BOF=180^{\circ}-\angle AOF$，所以$\angle BOF = 140^{\circ}$。
由圆周角定理$\angle BEF=\frac{1}{2}\angle BOF$（同弧所对的圆周角是圆心角的一半），可得$\angle BEF=\frac{1}{2}×140^{\circ}=70^{\circ}$。
2. 然后，因为$EF = EB$：
所以$\triangle EFB$是等腰三角形，根据等腰三角形的性质$\angle EFB=\angle EBF$。
又因为$OE = OF$，$OE = OB$（同圆半径相等），$EF = EB$，所以$\triangle OEF\cong\triangle OEB(SSS)$，则$\angle EOF=\angle EOB$。
因为$\angle AOF = 40^{\circ}$，设$\angle EOF=\angle EOB = x$，则$2x + 40^{\circ}=180^{\circ}$，解得$x = 70^{\circ}$。
由于$OE = OF$，所以$\angle OEF=\angle OFE$，在$\triangle OEF$中，$\angle OEF=\angle OFE=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle EOF)$（三角形内角和为$180^{\circ}$，等腰三角形两底角相等）。
把$\angle EOF = 70^{\circ}$代入，得$\angle OFE=\frac{1}{2}(180 - 70)^{\circ}=55^{\circ}$。
另一种方法：
连接$FB$，因为$\angle AOF = 40^{\circ}$，所以$\angle ABF=\frac{1}{2}\angle AOF = 20^{\circ}$（圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半）。
因为$EF = EB$，所以$\angle EFB=\angle EBF$。
又因为$\angle BEF=\frac{1}{2}\angle BOF$，$\angle BOF = 180^{\circ}-\angle AOF=140^{\circ}$，所以$\angle BEF = 70^{\circ}$。
在$\triangle BEF$中，根据三角形内角和$\angle EFB+\angle EBF+\angle BEF = 180^{\circ}$，且$\angle EFB=\angle EBF$，所以$\angle EFB=\angle EBF=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BEF)$。
把$\angle BEF = 70^{\circ}$代入得$\angle EBF=\angle EFB = 55^{\circ}$，$\angle ABF = 20^{\circ}$，则$\angle OFB=\angle OBF$（$OF = OB$），$\angle AOF=\angle OFB+\angle OBF = 40^{\circ}$（三角形外角性质：$\angle AOF$是$\triangle BOF$的外角），$\angle OFB = 20^{\circ}$。
所以$\angle EFO=\angle EFB-\angle OFB$，$\angle EFO=35^{\circ}$。
所以$\angle F$的度数是$35^{\circ}$，答案是B。